在前面的部分中，我们考虑了函数$f$在固定点$a$处的导数：

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{array}$$

如果我们将等式中的$a$替换为变量$x$，我们得到：

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}$$
因此，我们可以将$f^{\prime }$为一个新函数，称为$f$的导数，并由方程(2)定义。$f^{\prime }$的定义域是 { x ∣ f ′ ( x ) 存在 } \{ x | f'(x) \text{ 存在} \} {x∣f′(x) 存在}，可能小于$f$的定义域。

例一：已知函数$f$的图像，画出$f^{\prime }$的图像。

我们可以通过在点 $(x,f(x))$ 处作切线并估计其斜率来估算导数在任意 $x$ 处的值。例如，对于 $x=5$，在图中的点 $P$ 处作切线，估计其斜率约为 $ \frac{3}{2} $，因此 $f^{\prime }(5)\approx 1.5$。这样我们就能在 $f^{\prime }$ 的图形上绘制点 $P^{\prime }(5,1.5)$（函数 $f$ 的图形斜率成为 $f^{\prime }$ 图形上的 $y$ 值）。重复此过程得到图2(b)所示的图形。注意，在 $A$、$B$ 和 $C$ 处的切线水平，因此导数在这些点的值为0，$f^{\prime }$ 的图形在这些点穿过 $x$ 轴。在 $A$ 和 $B$ 之间，切线斜率为正，因此 $f^{\prime }(x)$ 为正；在 $B$ 和 $C$ 之间，切线斜率为负，因此 $f^{\prime }(x)$ 为负。

例二：已知$f(x)=x^3-x$，求$f^{\prime }(x)$。
$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[f(x+h)-f(x)]}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[((x+h{)}^3-(x+h))-(x^3-x)]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-x^3-x]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-h]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }(3x^2+3xh+h^2-1)\\ & =3x^2-1\end{array}$$

其他符号

导数的一些常见替代符号如下：
$$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_{x}f(x)$$

符号$D$和$\frac{dy}{dx}$被称为微分算子，因为它们表示微分运算，即计算导数的过程。由莱布尼茨引入的符号$\frac{dy}{dx}$，不应被视为一个比值；它只是$f^{\prime }(x)$的同义词。

我们可以用莱布尼茨符号重新写出导数的定义形式：

$$\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

如果我们想在特定数值$a$处用莱布尼茨符号表示导数$\frac{dy}{dx}$的值，我们使用符号：
$${\frac{dy}{dx}|}_{x=a}\text{或}\frac{dy}{dx}{|}_{x=a}$$

这与$f^{\prime }(a)$同义。竖线表示“在此处求值”。

定义：如果$f^{\prime }(a)$存在，那么函数$f$在$a$处可导。如果$f^{\prime }(x)$在区间内的每个数处都存在，那么函数在开区间$(a,b)$【或$(a,\infty )$或$(-\infty ,a)$或$(-\infty ,\infty )$上可导。

例三：求函数$f(x)=|x|$可导的区间。

解
\qquad 如果 $x>0$，则 $|x|=x$，我们可以选择足够小的 $h$，使得 $x+h>0$，因此 $|x+h|=x+h$。因此，对于 $x>0$，我们有

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|x+h|-|x|}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h)-x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }1=1$$

所以 $f$ 在任何 $x>0$ 处都可导。

\qquad 类似地，对于 $x<0$，我们有 $|x|=-x$，并且 $h$ 可以选得足够小，使得 $x+h<0$，因此 $|x+h|=-(x+h)$。因此，对于 $x<0$，我们有

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|x+h|-|x|}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-(x+h)-(-x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(-1)=-1$$

所以 $f$ 在任何 $x<0$ 处都可导。

\qquad 对于 $x=0$，我们需要研究

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|0+h|-|0|}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|h|}{h}$$

是否存在。

让我们分别计算左极限和右极限：

$$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{|h|}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }1=1$$

和

$$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{|h|}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-h}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }(-1)=-1$$

由于这些极限不同，所以$f^{\prime }(0)$ 不存在。因此，$f$ 在除了 $0$ 以外的所有 $x$ 处都可导。

$f^{\prime }$ 的公式如下：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{如果 }x>0\\ -1& \text{如果 }x<0\end{array}$$

$f^{\prime }(0)$ 不存在这一事实在几何上反映为曲线 $y=|x|$ 在 $(0,0)$ 处没有切线【如图所示】。

定理：如果$f$在$a$处可导，那么$f$在$a$处连续。
证明
为了证明 $f$ 在 $a$ 处是连续的，我们必须表明 ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$。我们通过证明 $f(x)-f(a)$ 的差趋近于 0 来做到这一点。

给定的信息是 $f$ 在 $a$ 处可导，即

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

存在。为了连接已知和未知，我们将 $f(x)-f(a)$ 除以 $x-a$ 并乘以 $x-a$（当 $x\ne a$ 时可以这样做）：

$$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$$

因此，我们可以写成：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-f(a))& =\underset{x\to a}{\lim }\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)\right)\\ & =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \underset{x\to a}{\lim }(x-a)\\ & =f^{\prime }(a)\cdot 0=0\end{array}$$

为了使用我们刚才证明的内容，我们从 $f(x)$ 开始并加上和减去 $f(a)$：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{\lim }f(x)& =\underset{x\to a}{\lim }\left(f(a)+(f(x)-f(a))\right)\\ & =\underset{x\to a}{\lim }f(a)+\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-f(a))\\ & =f(a)+0=f(a)\end{array}$$

因此，$f$ 在 $a$ 处是连续的。

注意：定理的逆命题是错误的；也就是说，有些函数是连续的，但不可微。例如，函数$f=|x|$在$0$处连续，因为
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }|x|=0=f(0)$$

函数如何会不可导？

一般来说，如果函数 $f$ 的图形上有一个“角”或“折点”，那么 $f$ 的图形在该点没有切线，并且 $f$ 在那里不可导。

定理给出了函数没有导数的另一种情况。它指出，如果 $f$ 在 $a$ 处不连续，那么 $f$ 在 $a$ 处不可导。因此，在任何不连续点（例如跳跃不连续点），$f$ 都是不可导的。

第三种可能性是当 $x=a$ 时，曲线有一条垂直的切线；也就是说，$f$ 在 $a$ 处是连续的，并且

$$\underset{x\to a}{\lim }|f^{\prime }(x)|=\infty$$

这意味着当 $x\to a$ 时，切线变得越来越陡峭【如图所示】。

图形计算器或计算机提供了另一种观察可微性的方法。如果$f$在$a$处可微，那么当我们向点$(a,f(a))$放大时，图形越来越像一条线。而无论如何放大另一个图形，我们都无法消除尖点或角。

高阶导数

导数函数$f^{\prime }$自身也有导数，写作$f^{\prime \prime }$，称为二阶导数。使用莱布尼茨符号表示为：
$$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$

例四：已知$f(x)=x^3-x$，求$f^{\prime \prime }(x)$。

解
在例二中，我们发现一阶导数是 $f^{\prime }(x)=3x^2-1$。所以二阶导数是

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3(x+h{)}^2-1-(3x^2-1)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3(x^2+2xh+h^2)-3x^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6xh+3h^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }(6x+3h)=6x\end{array}$$

$f$、$f^{\prime }$ 和 $f^{\prime \prime }$ 的图形如图所示。

一般来说，我们可以将二阶导数解释为变化率的变化率。最熟悉的例子是加速度，我们定义如下：

如果 $s=s(t)$ 是一个沿直线运动的物体的位置函数，我们知道它的一阶导数表示物体的速度 $v(t)$ 作为时间的函数：

$$v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{ds}{dt}$$

速度相对于时间的瞬时变化率称为物体的加速度 $a(t)$。因此，加速度函数是速度函数的导数，因此是位置函数的二阶导数：

$$a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$$

或者，用莱布尼茨符号表示，

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$$

加速度是你在汽车加速或减速时所感觉到的速度变化。

三阶导数 $f^{\prime \prime \prime }$ 是二阶导数的导数：$f^{\prime \prime \prime }=(f^{\prime \prime }{)}^{\prime }$。因此，$f^{\prime \prime \prime }(x)$ 可以解释为曲线 $y=f^{\prime \prime }(x)$ 的斜率或 $f^{\prime \prime }(x)$ 的变化率。如果 $y=f(x)$，那么三阶导数的替代符号是

$$y^{\prime \prime \prime }=f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$$

我们还可以在函数是物体沿直线运动的位置函数 $s=s(t)$ 的情况下，对三阶导数进行物理解释。因为 $s^{\prime \prime \prime }=(s^{\prime \prime }{)}^{\prime }=a^{\prime }$，位置函数的三阶导数是加速度函数的导数，称为加加速度（jerk）：

$$j=\frac{da}{dt}=\frac{d^{3}s}{d{t}^3}$$

因此，加加速度 $j$ 是加速度的变化率。这个名称很贴切，因为较大的加加速度意味着加速度的突然变化，类似于车辆的突然运动。

微分过程可以继续。四阶导数 $f^{(4)}$ 通常表示为 $f^{(4)}$。一般来说，$f$ 的第 $n$ 阶导数表示为 $f^{(n)}$，通过对 $f$ 进行 $n$ 次微分得到。如果 $y=f(x)$，我们写成

$$y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$$

练习题

1. 如果对于定义域中的所有 $x$，函数 $f$ 满足 $f(-x)=f(x)$，则称 $f$ 为偶函数；如果 $f(-x)=-f(x)$，则称 $f$ 为奇函数。证明以下每一个结论。
   (a) 偶函数的导数是奇函数。
   (b) 奇函数的导数是偶函数。