- 什么是最小公倍数？
最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小正整数倍数。
- 如何求一组数据的最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）？
LCM = 这组数据的公倍数 这组数据的最大公约数 (Greatest Common Divisor，简称GCD)
例如：两个数a和b，它们的最小公倍数lcm(a, b)可以通过它们的乘积除以它们的最大公约数gcd(a, b)来得到，即：lcm(a,b) = ，所以求最小公倍数的问题重点就转换成了求最大公约数。
- 如何求最大公约数？欧几里得算法: gcd(a,b)
欧几里得算法，又称为“辗转相除”法，顾名思义， 这个算法的核心思想就是不断的去除。它是迄今为止已知的最古老的算法，距今（2024年）已经有2324年了，这个算法可用于快速计算两个数字的最大公约数的。
定理：a 和 b两个整数的最大公约数等于 b 与 a%b 的最大公约数。
通过定理的表述，我们发现，问题规模从[b,a] 缩小到了为了[b, a%b]，即问题规模从原始规模缩小到了原始规模的子规模，但是问题的解没有变，也就是说，子规模中蕴含着原始问题的解。
所以，我们要证明两点：
第一： 在子规模中包含原始规模的解；
第二：在子规模中找到的答案就是最大公约数，而不仅仅是公约数之一。
证明问题一：
如果我们能证明 a 和 b 的最大公约数，同时也能被 a % b 整除 （是a%b的因子），那么就可以说原始规模的问题的解是包含在子规模中的。
设 a和b 的最大公约数 为c ：即 c = gcd(a,b), 则： a = cx, b = cy;
假设： a % b = r;
那么：r = a - kb = cx - kcy = c(x-ky)
所以：c 也是 r 的因子。
证明问题二：
如果我们想证明 gcd(b, a%b ) 得到的就是最大公约数，那么只要证明 b 和 （a%b）除了c之外再无公约数即可，又因为b = cy, a%b = c(x-ky) , 即只要能能证明 y 和 （x-ky）互为素数即可。
假设： gcd(x-ky, y) = d;
则 y = nd,
x-ky = md ; x = md+ky
x = (m+kn)d;
所以，a 和 b 可以表示成： a = cd(kn +m), b = cdn, 进而可知：gcd(a,b) >= cd ,
又因为 gcd(a,b) = c,
所以 d=1， y 和 （x-ky）的公约数为1， 说明y 和(x-ky) 互为素数。
题目1：2520是最小的能够被1到10整除的正数。最小的能够被1到20整除的正数是多少？
题目分析：
根据题目描述，就是要找到1到20的最小公倍数。
代码实现：
#include <stdio.h>//求整数a 和 b 的最大公约数
int gcd(int a, int b){if(b == 0) return a;return gcd(b, a%b);
}//求整数a 和 b 的最小公倍数
long lcm(long a, long b){return a*b / gcd(a, b);
}//求1到20 的最小公倍数
int main(){long long ans = 1;for(int i = 2; i <= 20; i++) ans = lcm(ans, i);printf("%lld\n", ans);return 0;
}小技巧：
在上述代码中，函数 long lcm(long a, long b) ，有两点需要注意，第一，为了不出现数据溢出现象，数据类型定义为long， 第二， 同样是为了不出现数据溢出， a*b/gcd(a,b) 这个运算语句，应该改为先 a /gcd(a, b) * b, 即先执行除法再做乘法，以免先乘法生产一个超出数据范围的大数据。
//求整数a 和 b 的最小公倍数
long lcm(long a, long b){return a / gcd(a, b) * b;
}
