区间DP——AcWing 282. 石子合并

区间DP

定义

区间 DP 是动态规划的一种特殊形式,主要是在一段区间上进行动态规划计算。

运用情况

通常用于解决涉及在一段区间内进行操作、计算最优值等问题。比如计算一个区间内的最大子段和、最小分割代价等。一些常见的场景包括合并操作、划分操作等在区间上进行的任务。

注意事项

  • 要正确定义状态,通常状态会包含区间的起始点和结束点等信息。
  • 仔细考虑状态转移方程,确保涵盖所有可能的情况。
  • 注意边界条件的处理。

解题思路

  • 明确问题是可以转化为区间上的计算。
  • 设计合适的状态表示,例如用 dp[i][j] 表示区间 [i, j] 上的某种最优值。
  • 找出状态转移方程,即如何从较小的区间的最优值推导出较大区间的最优值。
  • 按照合适的顺序进行计算,通常是从小到大逐步计算出各个区间的最优值。

例如,对于计算一个区间的最大连续子段和问题,我们可以定义 dp[i][j] 为区间 [i, j] 的最大子段和,状态转移方程可能是 dp[i][j] = max(dp[i][j-1] + nums[j], nums[j])。然后通过两层循环遍历所有可能的区间来计算出最终结果。

AcWing 282. 石子合并  

题目描述

AcWing 282. 石子合并 - AcWing

运行代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <climits>
using namespace std;
const int N = 305;
int dp[N][N];
int sum[N];
int stones[N];
int minCost(int l, int r) {if (dp[l][r]!= -1) {return dp[l][r];}if (l == r) {return 0;}int minVal = INT_MAX;for (int k = l; k < r; k++) {int cost = minCost(l, k) + minCost(k + 1, r) + sum[r] - sum[l - 1];minVal = min(minVal, cost);}dp[l][r] = minVal;return minVal;
}
int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> stones[i];sum[i] = sum[i - 1] + stones[i];}memset(dp, -1, sizeof(dp));cout << minCost(1, n) << endl;return 0;
}

代码思路

  • const int N = 305;:定义了一个常量表示最多可能的石子堆数。

  • int dp[N][N];:这是用于存储区间 [l,r] 的最小合并代价的二维数组。

  • int sum[N];:用于计算前缀和,方便后续计算区间的石子质量总和。

  • int stones[N];:存储每堆石子的质量。

  • minCost 函数是核心函数,它通过递归和动态规划来计算区间 [l,r] 的最小代价:

    • 如果 dp[l][r] 已经计算过(不为 -1),则直接返回该值,避免重复计算。
    • 当区间只有一堆石子(l == r)时,代价为 0。
    • 然后通过遍历区间内的分割点 k,计算将区间分为两部分合并的代价,取其中的最小值。最后将计算得到的最小代价存储到 dp[l][r] 中。
  • 在 main 函数中:

    • 输入石子堆数 n 和每堆石子的质量。
    • 计算前缀和。
    • 将 dp 数组初始化为 -1
    • 调用 minCost(1,n) 计算并输出最终的最小代价。

改进思路

  1. 空间优化:可以观察到在计算过程中,实际上只需要用到当前正在计算的较小区间的 dp 值,可以考虑滚动数组等方式来减少空间复杂度。
  2. 预处理一些信息:比如提前计算好一些常见区间的和,避免在计算代价时重复计算。
  3. 并行计算:如果有合适的硬件环境,可以考虑对一些不相互依赖的计算部分进行并行化处理,提高计算效率。
  4. 更高效的状态转移:进一步分析问题特性,看是否能找到更简洁或更高效的状态转移方式。
  5. 添加错误处理:增加对输入数据的合法性检查等错误处理机制,使程序更加健壮。

其它代码

#include <iostream>
#define N 310
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n;
int f[N][N], s[N];
int main()
{cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> s[i], s[i] += s[i - 1];    for(int len = 2; len <= n; len ++ )for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++ ){int r = l + len - 1;f[l][r] = inf;for(int k = l; k < r; k ++ )f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] - s[l - 1] + s[r]);}  cout << f[1][n] << endl;    return 0;
}

代码思路

  • #define N 310 和 #define inf 0x3f3f3f3f:定义了常量表示最大可能的元素数量和一个较大的数值表示无穷大。
  • int n:表示元素的个数。
  • int f[N][N]:这个二维数组用于存储区间 [l,r] 的最小代价。
  • int s[N]:用于计算前缀和。

在 main 函数中:

  • 首先输入元素个数 n,并计算前缀和 s
  • 然后通过两个嵌套的循环来处理不同长度的区间:对于每个长度的区间,通过遍历可能的分割点 k,计算将区间分为两部分的代价,取最小值更新 f[l][r]。这里的代价计算是基于当前区间的分割代价以及前缀和来确定的。
  • 最后输出区间 [1,n] 的最小代价,即 f[1][n]

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