符号表

由于论文内符号繁杂，这里写了一个符号表

符号	含义
${\mu }_{kl}$	kl协方差项
$n_k$	K通道的复包络
$n_l$	L通道的复包络
${\mu }_{lk}$	kl协方差项的共轭
$\alpha$	定义信号的幅度和时间变化
$s_k$	k信道中的信号
$w_k$	权重
$M$	噪声输出的协方差矩阵
$W$	权重列向量
$S$	信号列向量
$N$	噪声列向量
$v_s$	combiner的信号输出
$W_t$	转置的权重列向量
$W_t$	转置的信号列向量
$v_n$	combiner的噪声输出
$P_n$	噪声输出功率
$\widehat{W_k}$	经过转换后的权重矩阵
$\hat{S}$	经过转换后的信号矩阵
$M^{\ast }$	噪声输出的协方差矩阵做了共轭
$1_k$	K阶恒等矩阵
$A$	假设的一个矩阵

Abstract

文章提出了提出了一种自适应优化阵列天线信噪比的方法。给出了自适应阵与旁瓣对消的关系，并讨论了一种实时自适应实现方法。

Introduction

阵列的方向图可以通过在整个阵列上应用线性相位加权来操纵，并且可以通过对阵列元件的输出进行幅度和相位加权来成形。大多数阵列都是用固定权重来构建的，其设计目的是产生一种在分辨率、增益和低旁瓣之间折衷的方向图。特别吸引人的一点是，根据环境自适应变化权重的方案。在这份报告中，我们展示了如何自适应技术可以应用到天线阵列，以减少其对任何类型的干扰或干扰的敏感性。我们开始的推导“control law”的阵列权重，将最大化阵列输出的SNR中。
SNR优化
众所周知，当来自单元通道的噪声贡献具有相等功率且不相关时，均匀加权阵列给出最大SNR。当接收机噪声和均匀分布的天空噪声是主要噪声贡献时，这些条件近似有效。但是，当存在来自其他带内发射机的定向干扰时。在这个文章中，我们要考虑天线权重，来最大化噪声环境下的SNR。问题就被转化成了找到K通道的optimum coherent combiner。所有的信号都由它们的复包络表示。
K个通道中的每一个通道都包含噪声分量，其复包络由$n_k$表示，第k个通道中的包络功率由${\mu }_{kk}$表示，并且$n_k$和$n_l$的协方差由下式表示：

*代表了共轭。还有另一个公式：

当K个通道表示阵列天线的元件的输出时，协方差项${\mu }_{kl}$由接收机噪声和天线“看到”的所有噪声源的空间分布决定。我们假定这一协方差是已知的。当所需信号出现时，假设它与已知的复数$s_k$成比例出现在K个通道中。信号在信道$k$中用$\alpha s_k$表示。其中$\alpha$定义信号的幅度和时间变化。在具有等间距元件的线性阵列天线中，$s_k$由所需信号的方向确定。
$\theta$是机械视轴，$s_k$表示如下：

$d$是物件的间隔，$\lambda$是波长。问题在于选择权重${\omega }_k$，来让combiner的输出SNR最大化。优化权重由下面这一等式来决定。

$M$是噪声输出的协方差矩阵。$M=[{\mu }_{kl}]$。

以上两个是列向量，为了得到

我们开始写combiner的信号和噪声输出的表达式。
信号的输出是：

这可以方便地用矩阵表示法表示为：

小t、下角标意味着转置。同样，噪声的输出也能被表示为：

此处的N是

预期输出噪声功率为：

算子$E$只会影响噪声项，所以式子可以做如下变形：

$M$在这里是

$M$是噪声分量的协方差矩阵。如果噪声分量是不相关的，则矩阵$M$将是对角矩阵。然而，总的来说，$M$的任何位置都可以有非零元素。当${\mu }_{kl}={\mu }_{lk}^{\ast }$，矩阵$M$就变成了Hermitian矩阵（矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等）。它也是正定的，因为输出噪声功率$P_n$在$W\ne 0$时大于零。
由于M是正定厄米特矩阵，它可以通过非奇异坐标变换“对角化”。这意味着存在一种变换，它将问题转化为所有通道具有相等功率且不相关的噪声分量的问题。
假设变换矩阵为A，如下图所示：

在那里所示的变换之后，信号和噪声分量分别变为：
信号的：

噪声的：

上标符号(^)被用来表示变换后的量被怎么变换？矩阵A跟着combiner如下图所示

通过适当地关联在每种情况下使用的权重，可以使其等同于图2-1的combiner。

如果变换矩阵A的输出与权重$\widehat{W_k}$组合，则输出信号将是

同样的，输出噪声会变成

我们注意到在转换后合并通道矩阵$A$和权重向量$\hat{W}$等价于权重向量$A_t\hat{W}$没有变换矩阵。因此，对于同等的产出，我们有

以图2-2中的量表示的输出噪声功率为

由于变换矩阵A去除相关噪声分量并使它们的功率相等，A的噪声分量的协方差矩阵就是K阶恒等矩阵。

通过以上的等式，我们得到了：

如果图2-2和图2-1是的配置是相等的，，我们可以得到

因此

等式(2-29)表示变换矩阵A对角化矩阵M的事实。
图2-2中噪声分量$\widehat{n_k}$功率相等且不相关的加权向量$\hat{W}$的最佳选择为

$\mu$在这里是任意常量。为了展示上面这一式子是优化过的，应用柯西施瓦茨不等式来证明：


上面计算的是W矩阵模的平方。

将W等量代换成$P_n$后，得到上述不等式。这为SNR设置了一个上限。
当把$\hat{W}$用另一个等式替换的话，会得到

在等式2-35，这是SNR的最大可能值，因此，我们已经证明了$\mu \widehat{S^{\ast }}$是$\hat{W}$的最佳值。W的最佳值现在可以从(2-22)获得

下面是W的最佳值计算方法，


因此，对于图2-1中的combiner，最优权向量W是满足方程的W值：

最后的输出信噪比的公式如下：

上面这个信噪比公式，是由下面这些公式得来的：

广义奇异值噪声优化