高阶数据结构[2]图的初相识

图的初相识

1.前言

2.图的概念

3.图的相关术语

4.图的存储结构

4.1邻接矩阵

4.2邻接表

4.3两种存储方式的对比

5.图的存储实现

5.1邻接矩阵的实现

5.2邻接表的实现

6.总结

1.前言

本章将大家学习数据结构中的“图”。有学习过离散数学的同学对这一章节或许会比较熟悉。本篇文章将从最基础的概念开始介绍，一步步深入。让我们开始吧！

2.图的概念

大家是否还记得我们学过的“树”？“树”就是一种无环的连通图。

图有两个部分组成：1.顶点集合 2.顶点间形成的边。

因此图是一种由顶点集合以及边集合组成的一种数据结构表示为G=（V,E)。

下面我们用图像来理解该概念。

如上图所示。G1中四个顶点0，1，2，3 ，各顶点形成连接的边。抽象概念可以表示为顶点集合v1,v2,v3,v4。形成的边可以表示为ek=（vi，vj），表示改边由顶点vi和vj连接而成。

G2就是我们刚刚介绍的树是一种无向连通图。

既然说到了无向图，那么必然就有有向图。如图，G3,G4均为有向图。相信大家能看出来有向图和无向图的区别了！无向图没有明确的指向，而有向图则有明确的指向。

3.图的相关术语

在图的学习中，会涉及到大量的专业名词，我们在此一一列举。

$\bigstar$ 完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边,则称此图为无向完全图. 上图的G1就是无向完全图, G4为有向完全图。

$\bigstar$ 邻接顶点: 若顶点u和v有直接的边相连, 那么它们这两个顶点就称为邻接顶点。

$\bigstar$ 顶点的度: 顶点v的度是它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。如上图中的G1每个顶点的度都为2。

上图中的G3中顶点1的出度为2，入度为1，顶点的度为3.

$\bigstar$ 路径：若顶点A可以到达顶点B, 则从A到B经过的所有顶点就是A到B的路径. 对于不带权图,路径长度等于边数之和,带权图则是权值之和。如图。

$\bigstar$ 简单路径和回路：从图上的任一顶点出发，路径上经过的顶点只过一次，则为简单路径。

回路则是路径的上的出发点和结束点为同一个顶点形成一个环。如图。

$\bigstar$ 子图：图2的顶点和边都是图1的一部分，则称图2是图1的子图。如图。

$\bigstar$ 连通图：在无向图中，若两顶点间有边则称这两个边连通。若任意两个顶点都有边，则称为连通图。

$\bigstar$ 强连通图：在有向图中，任意两个顶点间都有相连的边，并且顶点1有指向顶点2，顶点2也指向1。

$\bigstar$ 生成树：一个无向连通图的最小连通子图称为改图的生成树。n个顶点的连通图的生成树有n-1条边。

4.图的存储结构

图的存储结构有两种：1.邻接矩阵 2.邻接表

4.1邻接矩阵

邻接矩阵用以判断顶点间是否连通，用0来表示连通，1来表示不连通。

因此，我们用二维数组来实现邻接矩阵，表示两点是否连接。

如上图，对于无向图，矩阵是对称的。因为，A对于B是连通的，B对于A也是连通的。

对于有向图而言，如图，二维数组的行表示边是由该顶点出发，而列则为被指向的顶点。

若图中的边带有权值，则在二维矩阵中用无穷大来表示两顶点间无边即不连通。

4.2邻接表

邻接表：用数组表示顶点的集合，用链表表示边的关系。

无向图的邻接表

假设顶点A,B,C,D 的下标为0，1，2，3。与A连通的有B，C。所以在邻接表中，A指向B，C。

有向图的邻接矩阵

有向图的邻接表中包含有入边表和出边表。以A为例，顶点E指向A因此在入边表中A连接E的下标4。在出边表中，由于从A出的边指向B和D，所以出边表指向B和D的下标1，3。

4.3两种存储方式的对比

而邻接表的优点是很快能判断出一个顶点与哪些顶点直接相连. 而邻接表想要知道两个顶点是否连通,要比邻接矩阵要麻烦。

用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。

5.图的存储实现

首先，和学习其他数据结构一样。我们先来实现图的基本框架。上代码。

template<class V,class W,W MAX_W=INT_MAX,bool Direction=false>//V表示顶点的类型 W表示边的类型，MAX_W作为二维数组的初始值
class Graph {
piblic:Graph(const V* a, size_t n){_vertrx.resize(n);//为顶点集合开辟空间for (int i = 0; i < n; i++){_vertex.push(a[i]);//将数组中的值写入集合_indexMap[a[i]] = i;//顶点值和顶点下标的映射}_edge.resize(n);//为边的集合开辟空间for (int i = 0; i < n; i++){_edge[i].resize(n, MAX_W);}}
private:vector<v> _vertex;//存储顶点的集合vector<vector<w>>edge;//存储边的集合map<v, w>_indexMap;//存储顶点和其映射
};

5.1邻接矩阵的实现

	namespace martix {template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph {public:Graph(const V* a, size_t n){_vertex.reserve(n);for (int i = 0; i < n; i++){_vertex.push_back(a[i]);_indeMap[a[i]] = i;}_edge.resize(n, MAX_W);}size_t GetIndex(const V& v){if (_indexMap.find(v) == _index.end())//map的特性，找不到时就等于end{cout << "要添加的顶点不存在" << endl;return -1;}return _index[v];}void AddEdge(const V& src, const V& dest, const W& w)//加边，依次为源点，目标点和边的权值{size_t srci = GetIndex(src);size_t desti = GetIndex(dest);_edge[srci][desti] = w;//边的权值if (Direction = false){_edge[desti][srci] = w;//无向图，矩阵是对称的}void print(){//打印顶点for (int i = 0; i < _edge.size(); i++)cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertex[i] << endl;cout << endl;//打印矩阵for (int i = 0; i < _edge.size(); i++)//横坐标{for (int j = 0; i < _edge[i]).size(); j++)//纵坐标{if (_edge[i][j] = MAX_W)cout << "*";else {cout << _edge[i][j] << " ";}
}}cout << endl;}cout << endl;}};private:vector<V>_vertex;//顶点的集合vector<vector<w>> _edge;//边的集合map<v, w>_indexMap;}

5.2邻接表的实现

	namespace link_table{template<class W>//边的权值struct Edge {int _dsti;//目标点的下标W _w;Edge<W>* _next；Edge(int dsti, constW& w)//邻接表用链表的形式实现，因此是对每一个结点进行初始化:_dsti(dsti), _w(W), _next(nullptr){}};template<class V, class W, bool Direction = false>class Graph {typedef Edge<W> Edge;public:Graph(const V* a, size_t n){_vertex.reverse(n);//顶点集合开辟空间for (int i = 0; i < n; i++){_vertex.push_back(a[i]);_indexMap(a[i]) = i;}_tables.resize(m, nullptr);}size_t GetVertexIndex(const V& v){size_t it = _indexMap.find(v);if (it != _indexMap.end()){return it->second;//返回顶点集合映射的下标}else {return -1;}}void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){size_t srci = GetVertexIndex(src);sizet_t dsti = GetVertexIndex(dst);Edge* eg = new Edge(dsti, w);//对结点进行开辟eg->_next = _tables[srci];//头插的方式加入邻接表的新边，指向原来的头_tables[srci] = eg;//做新头if (Direction == false){Edge* eg = new Edge(srci, w);eg->_next；_tables[dsti];_tables[dsti] = edge;//做新头}}void Print(){for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertex[i] << endl;//下标对应的顶点}cout << endl;for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){cout << _vertex[i] << "[" << i << "]" << "->";Edge* cur = _tables[i];while (cur)//和链表一样的遍历方式{cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->";cur = cur->_next;}}}private:vector<V>_vertex;//顶点的集合map<V, int>_indexMap;vector<Edge*>_tables;};}