线代知识点总结

目录

一.初等行/列变换

1.计算行列式时,行列变换都可

2.求矩阵的秩时,行列变换都可

3.解线性方程组时,仅能使用初等行变换

4.判定解的情况,单纯求r(A),r(A,b)的过程行列变换都可

5.求向量组极大无关组、线性表出关系,则仅行变换

6.求向量组的秩时,行列变换都可

7.求特征值时,行列变换都可

8.求特征向量时,仅做行变换

9.求逆矩阵时,对(A,E)仅做初等行变换

总结:

 二.要牢记

三.某某子式

1.余子式

2.代数余子式

3.k阶子式

4.k阶主子式

5.顺序主子式

四.矩阵的秩

五.常用特征值与特征向量

1.矩阵的逆

2.矩阵的伴随

六.矩阵,向量组,方程组

1.怎么判断两个矩阵等价

2.怎么判断两个向量组是等价向量组

3.同解方程组

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组

八.对比记忆

九.相似与正交

十.合同

十一.二次型

等价,合同和相似的关系:

十二.二次型正定


本节是线代某些知识点总结,可能较零碎。

对于简单的知识点,例如“两行对应成比例,行列式为0"就不讲了。暂时不举例题,有时间会继续补充!

一.初等行/列变换

1.计算行列式时,行列变换都可

因为D=D^{T},所以不论动行/列都是等价的。

变换规则:

1.“倍乘”:行列式的某行(列)乘某个元素k。相应的,若行列式中某行(列)元素有公因子k(k≠0),则k可提到行列式外面,即:

2."互换":行列式中两行(列)互换,行列式变号。

3.“倍加”:某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式不变。

2.求矩阵的秩时,行列变换都可

因为初等变换不改变某个矩阵非零子式的最高阶数,秩指的就是非零子式的最高阶数。

初等变换的规则:

1."倍乘":一个非零常数乘矩阵矩阵的某一行(列)。

2."互换":互换矩阵中某两行(列)的位置。

3."倍加":将矩阵的某一行(列)的k倍加到令一行(列)。

注意:

某矩阵乘元素k,是矩阵中的每个元素都成k,要与行列式区分。

也就是|kA|=k^n|A|

3.解线性方程组时,仅能使用初等行变换

因为矩阵的每一种初等行变换都对应着线性方程组的同解变换,而作列变换会改变原来的方程。

4.判定解的情况,单纯求r(A),r(A,b)的过程行列变换都可

:将r(A,b)化行阶梯求秩时,往往我们需要同时得到r(A),如果想用列变换的话,只能对A单独列变换,千万不要将b列和A的列混合运算,这样r(A)就不准了。(但r(A,b)是准的)。


但是,如果涉及到求通解或唯一解,那么就只能做行变换化行阶梯了,所以建议一开始就只做行变换。

总结:求解的过程,就只进行初等行变换化行阶梯求秩,并且顺势化为行最简型求解

 

5.求向量组极大无关组、线性表出关系,则仅行变换

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图,\beta矩阵中,\beta_{3}=\beta_{2} +\beta_{1}\alpha矩阵同样有这样的关系。

6.求向量组的秩时,行列变换都可

求向量组的秩,其实最后会转化为求矩阵的秩,原理就是"矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩",所以求向量组的秩也是行列变换都可。

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组/线性表出关系,这时只能做行变换,所以还是建议从开头就只使用行变换。

7.求特征值时,行列变换都可

因为特征多项式本质上是行列式,求行列式时,行列都可以换。

8.求特征向量时,仅做行变换

因为求特征向量时,本质是在解线性方程组,只能进行初等行变换。

9.求逆矩阵时,对(A,E)仅做初等行变换

因为以A^{-1}左乘A得到E,以A^{-1}左乘E得到A^{-1},以A^{-1}左乘的过程就是做初等行变换的过程。

所以怎么体现A和E做了完全一样的A^{-1}所带来的初等行变换,就是将A,E横着拼在一起,此时做的初等行变换就是同步的了。

总结:

除了① 求行列式的值(求特征值本质上就是求行列式的值)和 ② 单纯求秩,行列变换都可,其余情况通通只做行变换。

 二.要牢记

先写那么多,后面有再补充:

一些推导:

对于AB ≠ BA的补充:

三.某某子式

1.余子式

在n阶行列式中,去掉元素a所在的第i行、第j列元素,由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素a的余子式,记作M_{ij}

2.代数余子式

余子式M_{ij}(-1)^{i+j}后称为a的代数余子式,记作AA_{ij}

3.k阶子式

给定一个矩阵,任取k行,任取k 列,共k^{2}个数构成的行列式,出现在矩阵的秩中,定义如下:

设A是mxn矩阵,则若存在k阶子式不为零,而任意k+1阶子式(如果有的话)全为零,则r(A)=k,且若A为nxn矩阵,则:

4.k阶主子式

指在行列式中选k行k列,但要求行和列的下标相同。如:行为r1、r2、r3,列必须为c1、c2、c3;行为r2、r3、r5,列必须为c2、c3、c5。因此,k阶主子式不唯一。

这在矩阵相似会用到,下面会讲。

5.顺序主子式

顺序主子式是在主子式上再加限定,顺序主子式是由 1~k 行和 1~k 列所确定的子式。

例如:

1阶时:取第1行,第1列

2阶时:取第1、2行,第1、2列

3阶时:取第1、2、3行,第1、2、3列

4阶时:取第1、2、3、4行,第1、2、3、4列

实际上,主子式的主对角线元素是原 n 阶行列式的主对角线元素的一部分,且顺序相同。

所以k 阶主子式是不唯一的,而 k 阶顺序主子式是唯一的

用在判断二次型正定上,下面会讲。

四.矩阵的秩

 ① 0 <= r(A) <= min{m,n}

② r(kA)=r(A)(k ≠ 0)

③ r(AB) <= min{r(A),r(B)}

④ r(A+B) <=r(A)+r(B)

⑤ 

r(A)=n-1,r(A*)=1的证明:

进而可得出一个重要结论:

A_{m*n}B_{n*s}=0,则r(A)+r(B)<=n

⑥ 设A是m*n矩阵,P,Q分别是m阶,n阶可逆矩阵,则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ r(A)=r(A^{T})=r(AA^{T})=r(A^{T}A)

五.常用特征值与特征向量

1.矩阵的逆

除了一般公式,矩阵的逆和伴随:

推导如下:

2.矩阵的伴随

六.矩阵,向量组,方程组

矩阵,向量组

向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成,其中向量是由n个实数组成的有序数组,是一个n*1的矩阵(n维列向量)或是一个1*n的矩阵(n维行向量)。


② 矩阵是由m*n个数排列成m行n列的数表。

一个向量组可以看作是一个矩阵的列(或行)向量集合。如果一个矩阵有n列,那么这n列就可以看作是一个由n个向量组成的向量组。反过来,一个矩阵也可以看作是由其列(或行)向量组成的向量组。

1.怎么判断两个矩阵等价

矩阵等价的前提:A与B是同型矩阵,即A,B行数,列数相同

矩阵等价的充要条件

① r(A)=r(B)

② PAQ=B,P,Q可逆

2.怎么判断两个向量组是等价向量组

向量组等价的前提:A,B矩阵同维

若r( Ⅰ )=r(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}....)  r(Ⅱ)=r(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}....)       

向量组等价的充要条件
① r(Ⅰ)=r(Ⅱ),且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出(单向表出即可)

② r(Ⅱ)=r(Ⅰ),且(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出(单向表出即可)

③ r(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}....) =r(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}....)  =r(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}...,\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}...),即

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)

④ Ⅰ和Ⅱ能够相互线性表示。

总结:
① 两个矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。两个不同型矩阵是不可能等价

② 两个向量组等价只指的是它们能够互相线性表示,它们各自所含向量的个数可能是不一样的。

例题:

D.即使Ⅰ 和 Ⅱ 同为n维向量组,但是s与t的关系未知,也就是行数相等,列数未知,所以A,B两个矩阵可能不同型,不能等价。

B.(Ⅰ)可由(Ⅱ)表示,缺少其他条件,如果① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出 或者② r(Ⅰ)=r(Ⅱ)就对了

C正确

D r(A)=r(B),只能推出两个向量组秩相同,缺少其他条件,如果加上① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出 或者②加上(Ⅰ )可由(Ⅱ)线性表出或者③ r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ),就对了。

3.同解方程组

若两个方程组A_{m*n}x=0B_{s*n}x=0有完全相同的解,则称它们为同解方程组

充要条件:

①  Ax=0的解满足Bx=0,且Bx=0的解满足Ax=0(互相把解代入求出结果即可)

② r(A)=r(B),且Ax=0的解满足Bx=0(或Bx=0的解满足Ax=0)

③ r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix})(三秩相同)

例1:

例2:

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组

齐次线性方程组有解的条件:

① r(A)=n时,方程组有唯一零解

② r(A)=r<n时,方程组有非零解(无穷多解),且有n-r个线性无关解

齐次方程组其实就是解和系数的正交,例如,给你一个条件:

\alpha_{1}=2\alpha_{2} +\alpha_{3}---->\alpha_{1}-2\alpha_{2} -\alpha_{3}+0 \alpha_{4} =0

则(1 -2 -1 0)就是齐次方程组的基础解系

非齐次线性无关组有解的条件:

① 若r(4)≠r([A,b]),则方程组无解;
② 若r(A)=r([A,b])=n,则方程组有唯一解;
③ r(A)=r([A,b])=r<n,则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法:

①求Ax=0的解

② 求Ax=b的一个特解

③ 非齐次方程组的通解=齐次方程组的解+一个非齐次的特解

如果A行满秩,则r(A)=r(A|b),那么方程组一定有解。

如果A列满秩,则r(A)与r(A|b)的关系不确定:

① r(A)<r(A|b),则无解

② r(A)=r(A|b)<n,有无穷多解

③ r(A)=r(A|b)=n,有唯一解

八.对比记忆

1.

矩阵A的tr(A):tra(A)=矩阵A的迹=对角线元素之和

2.对于秩为1的n阶矩阵A或A=\alpha \beta ^{T}(或\beta ^{T}\alpha)(a,β都是n维非零列向量),其特征值为\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} ....\lambda_{n-1}=0,\lambda _{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\beta^{T} \alpha(或\alpha^{T} \beta) 

3.

例题1:

例题2:

九.相似与正交

存在n阶可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=B,则称A相似于B,记为A~B

若A~B

① |A|=|B|

② r(A)=r(B)

③ tr(A)=tr(B)

④ \lambda _{A}=\lambda _{B}|\lambda E-A|=|\lambda E-B|

r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)

⑥ A,B各阶主子式之和分别相同

那么怎么判定矩阵相似呢?

① 定义法

存在n阶可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=B

② 传递法

A~\Lambda\Lambda~B,则A~B,其中\Lambda为对角阵

这就要说到矩阵的相似对角化

矩阵可相似对角化的条件:

充要条件:

① n阶矩阵A可相似对角化↔有n个线性无关的特征向量。

② n阶矩阵A可相似对角化↔A对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量

必要条件:

③ n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化

④ n阶矩阵为实对称矩阵→A可相似对角化

对于矩阵相似对角化的步骤:

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化(如果需要的话),单位化\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}

④ 令Q=[\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}],则Q为正交矩阵,且Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

上面提到了实对称矩阵,实对称矩阵就是组成A的元素都是实数。对于实对称矩阵(A^T=A)要记住:

对于正交,你需要记住:
① \alpha ^{T} \beta =0,则\alpha\beta是正交向量

② 若满足A^{T}A=E,则A是正交矩阵

A^{T}A=EA^{-1}=A^{T}

例题:

矩阵相似还可得出:

① A~B,A^{k}=B^{k},f(A)=f(B)

② 若A~B,且A可逆,则A^{-1}~B^{-1},f(A^{-1})=f(B^{-1})

③ 若A~B,A^*~B^*

④ 若A~B,A^T~B^T

注: 

十.合同

设A,B为n阶矩阵,若存在可逆矩阵C,使得C^TAC=B,则称A与B合同,即A\cong B。A与B合同,就是指同一个二次型可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

A与B合同的充要条件:正惯性性指数(p)等于负惯性指数(q)

① pA=PB,且qA=qB

② pA=PB,且r(A)=r(B)

③ qA=qB,且r(A)=r(B)

注:由于我们已经规定,对称矩阵才是二次型矩阵,所以二次型矩阵都是对称矩阵,相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

十一.二次型

关于二次型化标准型或规范型的方法:配方法,正交变化有总结如下:

所以我们可以进一步得到

等价,合同和相似的关系:

这里记录一个例题:

十二.二次型正定

二次型正定的充要条件:
n元二次型f=x^{T}Ax正定↔对任意x≠0,有x^{T}Ax>0(定义)

① ↔f的正惯性指数p=n

② ↔存在可逆矩阵D,使得A=D^{T}D

③ ↔A\cong E,A与E合同

② ③推导:

 

④↔A的特征值\lambda>0

⑤↔A的全部顺序主子式>0

二次型正定的必要条件:

a_{ii}>0,对角线元素全部大于0

② |A|>0

最好是使用充要条件① ④ ⑤判断二次型是否正定,如果非要用定义法,来看个例题:

注意上题,不能直接将f判定为正定:

因为将二次型化为标准型的过程一定要做可逆线性变换

例题:


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