求导,积分

求导公式:

复合函数求导法则:两个函数导函数的乘积.
例如:f(x)=2x+1,f'(x)=2,g(x)=x^2+4x+4,g'(x)=2x+4
那么复合函数:
g(f(x))=(2x+1)^2+4(2x+1)+4
把(2x+1)看做整体,则g'=2(2x+1)+4
然后再求(2x+1)的导函数,为:2
于是最后的结果为:2(2(2x+1)+4)=8x+12

积分公式:

        函数和的积分等于分别的积分和,对于乘常数,可以把常数提出来

        对于一个式子考虑能否分项(分成两个数的和),抄分母,加一个减一个

               \int \frac{1}{x^{4}\left ( x^{2}+1 \right)}dx=\int \frac{1+x^{2}-x^{2}}{x^{4}\left ( x^{2}+1 \right)}dx=\int \frac{1}{x^{4}}dx-\int\frac{1+x^{2}-x^{2}}{x^{2}(x^{2}+1)}

第一类换元法:

        

        dy={y}'*dx\Rightarrow {u}'*dx=du \left \{ u=f(x) \right \} \Rightarrow du={u}'*dx

        去原式子里找f(u)和u的倒数的乘积,然后对dx凑微分到du等于(缺少常数的话可以自己补)

        

        \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx(a>0)=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}\frac{1}{a}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}d\frac{x}{a}=arcsin\frac{x}{a}+c

        \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2d\sqrt{x}

      

        先凑出u,然后用u积分,最后再将结果的u换成x

        

第二类换元法:

        直接换元

        (sinx)^{2}+(cosx)^{2}=1,(tanx)^2+1=(secx)^2

        对于三角函数可以画辅助三角形

        

        

        分部积分法:

        {(u(x)v(x))}'={u}'(x)v(x)+u(x){v}'(x)\Rightarrow u{v}'={(uv)}'-{u}'v\Rightarrow \int u{v}'dx=\int {(uv)}'dx -\int {u}'vdx\Rightarrow \int u{v}'dx=uv-\int {u}'vdx

        反对幂指三原则

        反对不容易积分,让其求导,指三容易积分,让其积分

        有口诀:

        二重积分的计算

        先确定外层积分是x轴还是y轴。如果外层是x轴,那么内层的x对于y的积分就是常数,先将图形的x轴坐标范围确定为外层定积分的上下限,再做一条平行y轴的辅助线确定y坐标的上下限作为内层积分的上下限。

极坐标下的二重积分

        区域为圆或者表达式为圆是用极坐标,对于圆点不在原点的时候,可以用极坐标平移的办法

        x=rcos\theta ,y=rsin\theta ,x^2+y^2=r^2,这里的r是极径。

        对于区域D:x^2+y^2-2x-2y<=0\Rightarrow r^2<=2(sin\theta +cos\vartheta ),如果要求极径为0时的\theta是多少,带入上式子得sin\theta +cos\theta =0\Rightarrow tan\theta =-1

        

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