【C语言】青蛙跳台阶问题 - 递归算法(一种思路,针对三种不同的情况)

文章目录

  • 1. 前言
  • 2. 题目和分析
    • 2.1 代码实现
    • 2.2 反思 (重点)
  • 3.题目二(变式)
    • 3.1 分析
    • 3.2 代码实现
  • 4. 题目三(变式)
    • 4.1 分析
    • 4.2 代码实现

1. 前言

相信大家看到青蛙跳台阶问题时,第一时间就会想到递归。那你知道为什么会使用递归吗?如果你对此一知半解的话,那么请跟随我的脚步,一起探索递归解决问题背后的秘密。

可能也有的读者会问,我不是学C语言的,看这个会不会不合适。对此,我只想说:编程的尽头是天马行空的脑洞和转化问题的能力,编程语言只是我们解决问题的工具,只要问题被解决了,用什么语言效果都是大差不差的。

那么,话不多说,Let’s go!!!

2. 题目和分析

题目一:一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

问题的描述很简单,那我们的破题关键在哪里呢?

我们可以先罗列几种情况,看一下有什么规律。
罗列情况
从这里,你可以发现一个规律:

当只有一个台阶时,青蛙它别无选择,它只需要跳一步就可以了;

当存在两个台阶时,青蛙此时就会有两种方法。
第一种就是,当青蛙选择一开始先跳一步时,那么两个台阶就只剩下一个台阶要跳了,那还能怎么办,继续跳就完事了。
第二种就是,青蛙选择一次跳两步,两个台阶就被跳完了。

当存在三个台阶时,青蛙此时就会有三种方法。
第一种:一步一步地跳。
第二种:先选择跳一步之后 ,再一次跳两步。
第三种:先选择跳两步,最后再跳一步就行。

后面的列举是一样的思路,限于篇幅的原因,这里就不再过多列举了。

看到这里,我们不妨假设,变量n为青蛙要跳的台阶数,函数Fun为计算青蛙台阶的方法个数。

int Fun(int n)
{... //代填写的内容
}

那么根据题目的要求,我们可以知道一个点,就是:Fun(1) = 1,Fun(2) = 2

仔细观察,我们可以发现一个规律:
当台阶数n=3时,Fun(3) = Fun(2) + Fun(1)

为此,我们可以总结出一个递推公式,就是Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2) (n>2)。

为此,我们就可以开始写函数了。

2.1 代码实现

#include<stdio.h>
int Fun(int n)
{if (n<=2) //递归退出条件{return n;}else{return Fun(n - 1) + Fun(n - 2);}
}int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = Fun(n);printf("%d\n", ret);return 0;
}

2.2 反思 (重点)

可能有的读者对这个规律总结的出现,仍然感觉到很诧异。那么我现在就用语言来解释这个递推公式背后的秘密。

我们可以想象一下,当台阶数大于2时:

当台阶数n=3时,聪明的青蛙此时就会说:“那我先跳1个台阶试试看后面的情况。” 既然青蛙已经跳过了1个台阶,那么总的台阶数就还剩2个。而这个问题不就又转换为:跳两个台阶有多少种跳法。
那这里可能有的读者还会提一个问题,如果青蛙先跳2个台阶呢?还会上述的推理过程吗?
其实大致的方向是不变的,就改一下顺序就可以了。为此你就可以理解Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2)这个公式的强大之处,它无关你跳的前后顺序。

看到这里,你可能还是不理解上述的语言表述,我就在多举一个例子

那么,当台阶数n=4,又会发生什么情况呢?Fun(4)
一样的解题思路:
当青蛙选择跳1步时,那么台阶就还剩3个,问题不就又转化为:求3个台阶有多少种跳法。Fun(3)
可是这样还不够啊,青蛙也有可能一开始就跳两步,
当青蛙一开始就跳2步,那么台阶就还剩2个,问题不就又转化为:求2个台阶有多少种跳法。Fun(2)
所以,Fun(4) = Fun(3) + Fun(2)

看到这里,我想你已经彻底理解了这个递推公式的精髓所在了。

这里面也蕴含了一种思想:大事化小的思想,这个不正是我们使用递归的核心思想。通过青蛙的每一步选择都会出现看两种不同的结果,但是每种结果的尽头,台阶数最终不是剩下2个就是1个,都会回到递归的退出条件。

3.题目二(变式)

题目二:一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶…,还可以跳上n级台阶,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

如果你理解上面青蛙跳台阶的思路,那么这道题就不难了。

3.1 分析

这里我就简单分析一下:
与第一道不同的是,青蛙可以这次可以选择跳<=n的步数了,但是,基本的思路是一样的。
图

假设有n个台阶,函数Fun用来计算n个台阶有多少种跳法。
那么,我们就可以得到一个递推公式:
Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2) + … + Fun(2) + Fun(1) + 1 ①
Fun(n-1) = Fun(n-2) + Fun(n-3) + … + Fun(2) + Fun(1) + 1 ②

将上述的①和②结合一下:
Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-1) = 2*Fun(n-1)

3.2 代码实现

#include<stdio.h>int Fun(int n)
{if (n == 1){return 1;}else {return 2*Fun(n - 1);}
}int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = Fun(n);printf("%d\n", ret);return 0;
}

4. 题目三(变式)

问题三:一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶…,还可以跳上m级台阶,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

4.1 分析

这道题目又和上一道题目有所不同,这次青蛙最多跳<=m个台阶数。

由上两题总结出的思路,我们可以很快地写出此题的递推公式:
Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2) + … + Fun(n-m) ①
Fun(n-1) = Fun(n-2) + Fun(n-3) + … + Fun(n-m-1) ②
将①和②结合一下:
Fun(n) = 2 * Fun(n-1) + Fun(n-m-1) (n>m)
上述的情况是当n>m时发生的,那么当n<=m时呢?
那问题就会转化为题目二的思路了。

4.2 代码实现

int Fun(int n, int m)
{if (n <= 1) //之所以是小于1,是因为m可能会大于n{return 1;}if(n>m){return 2 * Fun(n - 1, m) - Fun(n - m - 1, m);}return 2 * Fun(n - 1, n); //这里的n不要写成m
}int main()
{int n = 0;int m = 0;scanf("%d %d", &n, &m);int ret = Fun(n, m);printf("%d\n", ret);return 0;
}

后面的两道题希望读者们下来可以慢慢的去琢磨。

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