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1.零钱兑换

1.题目链接

• 零钱兑换

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2.算法原理详解

• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i][j]的含义

    • dp[i][j]：从前i个硬币中**选**，总和正好等于j，最少的硬币个数

  • 推导状态转移方程：根据最后一个位置的情况，分情况讨论

    • 状态转移方程优化同[模板]完全背包
      

  • 初始化：

    • 多开一行及一列虚拟结点
    • 由于此处状态方程求的是min，为了让不存在的情况不影响取值
      • 可以在不存在的情况初始化为无穷大，此处无穷大初始化为0x3f3f3f3f
        

  • 确定填表顺序：从上往下，从左往右

  • 确定返回值：dp[n][amount] >= INF ? -1 : dp[n][amount]

• 滚动数字优化同[模板]完全背包

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3.代码实现

// v1.0
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
{const int INF = 0x3f3f3f3f;int n = coins.size();vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(amount + 1));// Initfor(int j = 1; j <= amount; j++){dp[0][j] = INF;}// DPfor(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= amount; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(j >= coins[i - 1]){dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - coins[i - 1]] + 1);}}}return dp[n][amount] >= INF ? -1 : dp[n][amount];
}
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// v2.0 滚动数组优化
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
{const int INF = 0x3f3f3f3f;int n = coins.size();vector<int> dp(amount + 1, INF);dp[0] = 0;// DPfor(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = coins[i - 1]; j <= amount; j++){dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i - 1]] + 1);}}return dp[amount] >= INF ? -1 : dp[amount];
}

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2.零钱兑换 II

1.题目链接

• 零钱兑换 II

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2.算法原理详解

• 思路基本跟零钱兑换一致，本题代码实现就只给出滚动数组优化的版本
• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i][j]的含义

    • dp[i][j]：从前i个硬币中**选**，总和正好等于j，一共有多少种选法

  • 推导状态转移方程：根据最后一个位置的情况，分情况讨论

    • 状态转移方程优化同[模板]完全背包
      

  • 初始化：

    • 多开一行及一列虚拟结点
      

  • 确定填表顺序：从上往下，从左往右

  • 确定返回值：dp[n][amount]

• 滚动数字优化同[模板]完全背包

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3.代码实现

int change(int amount, vector<int>& coins) 
{vector<int> dp(amount + 1);dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= coins.size(); i++){for(int j = coins[i - 1]; j <= amount; j++){dp[j] += dp[j - coins[i - 1]];}}return dp[amount];
}

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3.完全平方数

1.题目链接

• 完全平方数

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2.算法原理详解

• 问题转化：本质就是完全背包问题
• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i][j]的含义

    • dp[i][j]：从前i个完全平方数中**选**，总和正好等于j，所有的选法中，最小的数量

  • 推导状态转移方程：根据最后一个位置的情况，分情况讨论

    • 状态转移方程优化同[模板]完全背包
      

  • 初始化：

    • 多开一行及一列虚拟结点
    • 由于此处状态方程求的是min，为了让不存在的情况不影响取值
      • 可以在不存在的情况初始化为无穷大，此处无穷大初始化为0x3f3f3f3f
        

  • 确定填表顺序：从上往下，从左往右

  • 确定返回值：dp[sqrt(n)][n]

• 滚动数字优化同[模板]完全背包

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3.代码实现

// v1.0
int numSquares(int n) 
{const int INF = 0x3f3f3f3f;int m = sqrt(n);vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));// Initfor(int j = 1; j <= n; j++){dp[0][j] = INF;}// DPfor(int i = 1; i <= m; i++){for(int j = 0; j <= n; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(j >= i * i){dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - i * i] + 1);}}}return dp[m][n];
}
-------------------------------------------------------------------------
// v2.0 滚动数组优化
int numSquares(int n) 
{const int INF = 0x3f3f3f3f;int m = sqrt(n);vector<int> dp(n + 1, INF);dp[0] = 0;// DPfor(int i = 1; i <= m; i++){for(int j = i * i; j <= n; j++){dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);}}return dp[n];
}