素数的无穷大——欧几里得的证明

一、说明

众所周知，素数是无限多的。然而，两千多年前的情况并非如此。当时，数学还处于非常初级的阶段，尚未得到发展。自然，质数是一个有吸引力的探索前沿。要处理素数，首先要了解它最基本的性质——有多少个素数？

欧几里得可能是第一个证明有无穷多个素数的人。即使在 2000 年后，它仍然是一个优秀的推理模型。下面我们遵循 Ribenboim 对欧几里得证明的陈述 [ Ribenboim95 ，第 3 页]，请参阅“有无穷多个素数”页面以了解其他几个证明。

二、欧几里得证据

即使在今天，欧几里得的证明仍然是数学推理和美的极好展示。他的证明首先考虑了任何有限的素数集：

{ p 1 , p 2 , p 3 , . . . p n } \{p_1,p_2,p_3,...p_n \} {p1​,p2​,p3​,...pn​}

然后，欧几里得的方法涉及证明至少存在一个素数，使其不属于该集合。我们设 P 是该集合成员的乘积，即：
$$P=p_1\ast p_2\ast p_3,...\ast p_n$$

我们定义 Q = P + 1。

接下来，我们继续通过穷竭来完成这个证明。需要注意的是，这个证明的推论是算术的基本定理：每个大于 1 的数字都可以表示为质因数的唯一乘积。

欧几里得利用了这个定理，产生了两种情况：

1. Q 是素数。
2. Q 是复合的（不是素数）。

他首先单独考虑每个案例。

• 在 Q 是素数的情况下，Q 不属于我们开始的有限素数集（因为 Q > P），因此，有一个素数不是该集合的成员, 因此，素数是无限的。

• 在 Q 是复合的情况下，Q 具有唯一的质因式分解，并且一些质数 r 除以 Q。如果这个质因数 r 属于我们开始的有限集合，那么它将除以 P，因为 P 是集合中素数的乘积。但 r 还将 Q = P + 1 除以构造。现在，如果 r 除以 Q 和 r 除以 P，那么它也必须除以两者之间的差值。也就是说，它还必须除以 1。由于没有素数除以 1，因此 r 是不属于该集合的素数。

在这两种情况下，素数都存在于有限集之外。这表明，对于每个有限的素数集，至少存在一个不在列表中的素数，从而证明了素数的无穷大。

欧几里得证明的变体
欧几里得证明的变体遵循类似的推理，但涉及阶乘的使用。数字 x 的阶乘，用 x！ 表示，定义为所有小于或等于自身的自然数的乘积：

在这个版本的证明中，我们首先注意到 x！ 可被从 2 到 x 的每个整数整除，包括 2 和 x。 因此，x！ + 1 不能被任何小于 x 的正整数整除。因此，x！ + 1 要么是素数，要么可以被大于 x 的素数整除。 在任何情况下，对于每个正整数 x，都有一个大于 x 的素数。有了这个，我们可以得出结论，有无限数量的素数。

欧几里得可能是第一个证明有无穷多个素数的人，但他的证明后来被许多人效仿。下面我们给出哥德巴赫使用费马数（写于 1730 年 7 月写给欧拉的一封信中）的巧妙证明，以及一些变体。请参阅“有无穷多个素数”页面，了解更多证明。

三、哥德巴赫对素数无穷性的证明（1730）

https://t5k.org/notes/proofs/infinite/goldbach.html
首先我们需要一个引理。

引理。
费马数 $$F_n=2^{2^n}+1$$是两两互质的。
证明。
通过归纳法很容易证明$Fm-2=F0.F\mathrm{1.....}Fm-1$。这意味着如果d能整除 F n和 F m（其中n < m），那么d也能整除 F m -2 ；因此d能整除 2 。但每个费马数都是奇数，因此d为 1。

现在我们可以证明这个定理：
定理。
素数有无数个。
证明。
为每个费马数 F n选取一个素数因子 p n。根据引理，我们知道这些素数都是不同的，表明素数有无穷多个。
请注意，任何两两互质的序列都可以用于此证明。这种类型的序列很容易构造。例如，选择互质整数a和b，然后按如下方式定义 a n 。

a 1 = a ,
a 2 =a 1 + b ,
a 3 =a 1 a 2 + b ,
a 4 =a 1 a 2 a 3 + b ,
…

这包括费马数（a =1，b =2）和西尔维斯特数列（a =1，b =2）：

a 1 =2 且 a n +1 = a n 2 -a n +1。

事实上，证明实际上只需要一个具有成对互质的子序列的序列，例如梅森数。

四、Fürstenberg 对素数无穷性的证明(1955)

https://t5k.org/notes/proofs/infinite/topproof.html
克里斯·考德威尔
欧几里得可能是第一个证明有无穷多个素数的人。此后，人们给出了许多其他证明。也许最奇怪的是 Fürstenberg [ Fürstenberg55 ] 给出的以下拓扑证明。请参阅“有无穷多个素数”页面，了解其他几个证明。

[定理] 素数有无数个。
[证明]
以等差数列（从-无穷到+无穷）为基础，在整数集上定义一个拓扑。很容易验证这会产生一个拓扑空间。对于每个素数p ，设A p 由p的所有倍数组成。A p是闭集，因为它的补集是所有其他差值为p 的等差数列的并集。现设A为数列A p 的并集 。如果素数的数量是有限的，则A是闭集的有限并集，因此是封闭的。但除 -1 和 1 之外的所有整数都是某个素数的倍数，因此A的补集为 {-1, 1}，显然不是开集。这表明A不是有限并集，且素数有无穷多个。

五、库默尔对欧几里得证明的重述

克里斯·考德威尔
欧几里得可能是第一个证明有无穷多个素数的人。即使在 2000 年后，它仍然是一个优秀的推理模型。库默尔给出了这个证明的更优雅的版本，我们在下面给出（遵循 Ribenboim [ Ribenboim95 ，第 4 页]）。请参阅“有无穷多个素数”页面，了解其他几个证明。

定理。
素数有无数个。
证明。
假设存在有限多个素数p 1 < p 2 < … < p r。设N = p 1 . p 2 . … . p r。整数N -1 是素数的乘积，它与N有一个共同的素数因子p i；因此，p i能整除N - ( N -1) =1，这是荒谬的！∎
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