卷积 - 感受野（Receptive Field）

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感受野（Receptive Field）是指卷积神经网络中某一层的一个特定神经元能够“看到”并响应的输入图像区域。简单来说，它是指卷积核在输入图像上滑动过程中每次覆盖的区域。感受野的大小随着卷积层的增加而增大，即网络越深，感受野越大。

感受野的直观理解

假设我们有一个简单的卷积神经网络，只有一层卷积层，卷积核大小为 $3\times 3$，步长为 1，没有填充。

例子

输入图像（大小为 $5\times 5$）：
$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 6& 7& 8& 9& 10\\ 11& 12& 13& 14& 15\\ 16& 17& 18& 19& 20\\ 21& 22& 23& 24& 25\end{array}\right]$
卷积核（大小为 $3\times 3$）：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right]$
卷积操作的步骤：

1. 卷积核首先覆盖输入图像的左上角 $3\times 3$ 区域：$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& 7& 8\\ 11& 12& 13\end{array}\right]$这个区域就是第一个神经元的感受野。
2. 卷积核向右滑动一个步长，覆盖下一个 $3\times 3$ 区域：$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 7& 8& 9\\ 12& 13& 14\end{array}\right]$这个区域就是第二个神经元的感受野。
   以此类推，卷积核会覆盖输入图像上的每一个可能的 $3\times 3$ 区域，每个区域都对应一个神经元的感受野。

更深层的感受野

假设我们有一个两层卷积神经网络：

• 第一层卷积层的卷积核大小为 $3\times 3$，步长为 1，没有填充。
• 第二层卷积层的卷积核大小为 $3\times 3$，步长为 1，没有填充。
  在第一层，感受野的大小为 $3\times 3$。在第二层，每个神经元的感受野由它在第一层的感受野决定，并且考虑到卷积核的大小，它实际上看到了第一层的 $3\times 3$ 区域的 $3\times 3$ 感受野。

第二层神经元的实际感受野大小可以通过计算来确定：

1. 第一层的感受野大小： $3\times 3$
2. 第二层的卷积核大小： $3\times 3$
3. 第二层的每个神经元的感受野包括第一层中 $3\times 3$ 区域的感受野。
   所以，第二层的感受野大小是 $5\times 5$，因为第二层的卷积核会覆盖第一层卷积的多个感受野，具体如下：

• 如果考虑第一层的每个感受野（$3\times 3$）作为一个单位块，那么第二层的感受野大小就是这些单位块的覆盖范围。
• 例如，第二层的一个神经元可能会结合第一层的9个不同感受野的输出

import torch
import torch.nn as nnclass SimpleCNN(nn.Module):def __init__(self):super(SimpleCNN, self).__init__()self.conv1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=3, stride=1, padding=0)self.conv2 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=3, stride=1, padding=0)def forward(self, x):x = self.conv1(x)print(f"After conv1: {x.shape}")x = self.conv2(x)print(f"After conv2: {x.shape}")return xdef calculate_receptive_field(layers):receptive_field = 1for layer in layers:kernel_size = layer.kernel_size[0]stride = layer.stride[0]padding = layer.padding[0]receptive_field = ((receptive_field - 1) * stride) + kernel_size - 2 * paddingprint(f"Layer {layer}: receptive field size = {receptive_field}")# 输入图像
input_image = torch.tensor([[1, 2, 3, 4, 5],[6, 7, 8, 9, 10],[11, 12, 13, 14, 15],[16, 17, 18, 19, 20],[21, 22, 23, 24, 25]
], dtype=torch.float32).unsqueeze(0).unsqueeze(0)  # 添加批次和通道维度# 创建模型
model = SimpleCNN()# 进行前向传播
output = model(input_image)# 打印输出结果
print("输出结果:")
print(output.squeeze().detach().numpy())# 计算并输出感受野大小
calculate_receptive_field([model.conv1, model.conv2])

After conv1: torch.Size([1, 1, 3, 3])
After conv2: torch.Size([1, 1, 1, 1])
输出结果:
4.2884874
Layer Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1)): receptive field size = 3
Layer Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1)): receptive field size = 5

运行这段代码将会输出每一层卷积之后的特征图形状，以及每一层的感受野大小。输出结果将会显示每一层卷积操作后的感受野如何变化。

感受野大小的计算步骤

第一层卷积 $conv1$

• 输入图像大小： $5\times 5$
• 卷积核大小： $3\times 3$
• 步长： $1$
• 填充： $0$
  计算第一层感受野大小：
  $R_1=3$

第二层卷积 $conv2$

• 第一层输出特征图大小： $3\times 3$
• 卷积核大小： $3\times 3$
• 步长： $1$
• 填充： $0$
  计算第二层感受野大小：
  $R_2=((R_1-1)\times \text{stride})+\text{kernel size}-2\times \text{padding}$
  $R_2=((3-1)\times 1)+3-2\times 0$
  $R_2=5$

通过这种方式，我们可以跟踪每一层卷积操作后感受野大小的变化。代码中的 calculate_receptive_field 函数通过遍历每一层卷积层来计算和输出感受野大小。

核心概念

卷积神经网络（CNN）之所以在处理图像等数据时非常有效，是因为它们利用了三大核心概念：局部连接（Local Connectivity）、权值共享（Weight Sharing）、平移不变性（Translation Invariance）。让我们详细探讨这些概念。

1. 局部连接（Local Connectivity）

在传统的全连接神经网络中，每个神经元与上一层的每个神经元相连接，形成一个全连接的网络结构。而在卷积神经网络中，卷积层的每个神经元只与上一层的局部区域（称为感受野）相连接。

解释：

• 局部连接是指每个卷积核仅覆盖输入图像的一个小区域（如 $3\times 3$ 或 $5\times 5$）。
• 这种局部连接的方式使得卷积层能够捕捉局部特征，如边缘、角点等。

例子：

假设我们有一个 $5\times 5$ 的输入图像和一个 $3\times 3$ 的卷积核。卷积核每次只关注输入图像的一个 $3\times 3$ 的区域，逐步滑动覆盖整个图像。这种方式使得网络能够有效地学习局部特征。

2. 权值共享（Weight Sharing）

在卷积神经网络中，卷积核的参数（权重）在整个输入图像上是共享的。这意味着卷积核在不同位置上应用相同的一组参数进行卷积操作。

解释：

• 权值共享是指在整个输入图像上使用相同的卷积核，减少了需要训练的参数数量。
• 这种方式确保了在不同位置检测到的相同特征具有相同的权重。

例子：

如果我们使用一个 $3\times 3$ 的卷积核在 $5\times 5$ 的输入图像上滑动，该卷积核会在每个位置上应用相同的权重。这样，不管特征出现在图像的哪个部分，该卷积核都能有效地检测到它。

3. 平移不变性（Translation Invariance）

平移不变性是指卷积神经网络能够识别出图像中的特征，无论这些特征出现在图像的哪个位置。卷积操作通过滑动窗口机制，确保网络对图像中不同位置的特征具有相同的响应。

解释：

• 平移不变性使得网络能够在图像的任何位置检测到相同的特征。
• 这种特性使得卷积神经网络在处理图像分类等任务时非常有效，因为特征的位置不再重要，网络关注的是特征本身。

例子：

假设我们有一张包含数字“7”的图片。不管“7”出现在图像的左上角还是右下角，卷积神经网络都能够识别出这个特征。这是因为卷积核在整个图像上滑动，确保能够检测到特征的位置。