1、欧拉函数

• 计算单个值的欧拉函数

  • 基于公式：$phi(n) = n* \frac{p_1-1}{p_1} * \frac{p_2-1}{p_2}*\dots *\frac{p_n-1}{p_n} $其中$p_i$为$n$的质因数。
  • 写代码用试除法可以快速求解$O(sqrt(n))$

• 筛法求欧拉函数（线性筛）

  • 代码如下：

  for i in range(2,n+1):if st[i]==0:primes.append(i)phi[i]=i-1 # 质数的phi(i)=i-1for j in range(len(primes)):if primes[j]*i>n:breakst[primes[j]*i]=1if i%primes[j]==0:phi[i*primes[j]] = phi[i]*primes[j] # primes[j]是i的质因素数breakphi[i*primes[j]] = phi[i]*(primes[j]-1) # primes[j]不是i的质因数
  

• 欧拉降幂

  • 基本公式
    $$a^b\equiv \{\begin{array}{l}{a}^{bmod\phi (m)},gcd(a,m)=1,\\ a^b,gcd(a,m)\ne 1,b<\phi (m),(modm)\\ a^{(bmod\phi (m))+\phi (m)},gcd(a,m)\ne 1,b\ge \phi (m).\end{array}$$

2、乘法逆元

• 费马小定理求逆元

  • $pow(a,p,p-2)$

• 扩展欧几里得算法求逆元

  • $exgcd(a,p,x,y)$
  • 如果求得最大公约数不是1则无解，否则逆元就是$x$

  def exgcd(a,b,x,y):if b==0:return a,1,0d,x,y = exgcd(b,a%b,x,y)x,y = y,x-a//b*yreturn d,x,y
  

3、中国剩余定理

• $CRT$中国剩余定理基本形式

  • 中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组的解：

  $$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

  • 在中国剩余定理中：$a_1,a_2,\dots ,a_n$ 是给定的余数， $m_1,m_2,\dots ,m_n$两两互质，如果两两不互质则是扩展中国剩余定理。

• $CRT$问题的解决方法

  • CRT主要利用$m_1,m_2,\dots ,m_n$ 为两两互质的整数的性质。我们可以令：
    $$\begin{gathered} M=m_1\times m_2\times \cdots \times m_n=\begin{array}{c}\prod _{i=1}^n{m}_i\end{array} \\ {M}_i=M/m_i \end{gathered}$$
    明显这里的$M_i$是和$m_i$互质的。

  • 接着我们定义逆元：
    $$t_i=M_i^{-1}$$

  • 所以我们可以构造出一个解$x_0$
    $$x_0=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$$

  • 解释 $\forall j\in [1,n]$：
    $$\{\begin{array}{l}{a}_j{M}_j{t}_j\%m_i=0j\ne i\\ a_j{M}_j{t}_j\%m_i=a_{i}j=i\end{array}$$

  • 通解就是$x=x_0+kM$，而CRT问题所求的最小整数解其实就是$ans=x\%M$

• $EXCRT$扩展中国剩余定理的基本用法性质

  • 同余方程合并后模数是原来模数的最小公倍数。

  • 合并的流程：

    • 假设前$k-1$个同余方程合并得到新的方程为：$x=r_1(\mathrm{mod}M)$ ，$M$是前$k-1$个同余方程模数的最小公倍数，现在需要考虑合并第$k$个方程：$x=r_2(\mathrm{mod}{m}_k)$。

    • 对于前$k-1$个同余方程，其通解为$x=r_1+i\ast M,i\in Z$，接着在通解里面找到一个$t$，使得$(r_1+t\ast M)\%m_k=r_2$，即可满足第$k$个方程。那么合并后前$k$个同余方程的通解就是
      $$x=r_1+t\ast M+i\ast lcm(M,m_k),i\in Z$$
      再对通解模$lcm(M,m_k)$ 即可得到新的$ans$作为前$k$个同余方程的最小整数解。

    • 其中找$t$的过程：$M\ast t+m_k\ast y=r_2-r_1$，其中$M$就是裴蜀等式的$a,t$就是裴蜀等式的$x$，其中$r_2-r_1$要满足$gcd(M,m_k)|(r_2-r_1)$，否则无解。

    • 我们先用扩展欧几里得求解出$M\ast t+m_k\ast y=gcd(M,m_k)$，顺便求出$gcd(M,m_k)$，再将得到的解$t=t\ast \frac{r_2-r_1}{gcd(M,m_k)}$，即可求得$t$。

4、组合数

• 方法一：利用递推公式：$c[a][b]=c[a-1][b]+c[a-1][b-1]$即考虑当前选不选的问题。$O(n^2)$其中($n\le 2000$)

• 方法二：预处理逆元法：根据公式计算：$C_a^b=\frac{a!}{(a-b)!b!}$ 由于后面数值一般很大会设置一个模数，可以考虑计算出$fac[i]$表示$i$的阶乘，$infac[i]$表示$i$的阶乘的逆元。因此：$C_a^b=fac[a]\ast infac[a-b]\%p\ast infac[b]\%p$.此方法可以预处理出$n \le 1e5 $的数。

• 方法三：利用$Lucas$定理：$C_a^b=C_{a\%p}^{b\%p}\ast C_{a//p}^{b//p}(modp)$可以处理($1\le b\le a\le 10^{18}$，$p$为质数)

  def lucas(a,b,p):if a<p and b<p:return C(a,b,p)return C(a%p,b%p,p)*lucas(a//p,b//p,p)%p
  

  • 应用：括号序列($C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$)，这个也称为卡特兰数（合法出栈数）
    • 卡特兰数公式：$f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

5、容斥原理

• 二项式反演：

  • 恰好和至少的转换（常用到）

    • 设$f_i$表示至少有$k$个的方案数，$g_i$表示恰好有$k$个方案数，则有：

    $$f_k=\sum _{i=k}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)g_i$$

    • 根据二项式反演则有：

    $$g_k=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})f_i$$

    • 当我们需要求恰好$k$个方案，同时发现至少$k$个方案比较容易求时可以建议用这个。

  • 恰好和至多的转换（没上面常用）

    • 设$f_i$表示至多有$k$个方案数，$g_i$表示恰好有$k$个方案数，则有：

    $$f_k=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)g_i$$

    • 根据二项式反演则有：

    $$g_k=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})f_i$$

    • 当发现最多有$k$个的时候好算时用这个。

6、博弈论

• 四种经典组合游戏

  • 尼姆游戏：$n$堆物品，每堆$a_i$个，两名玩家轮流，每次选一堆，至少取1个最多可全部取走。
    • 结论：令$S=\oplus_{i=1}^n a_i $先手必胜当且仅当$S\not =0$.（根据异或性质容易判断）
  • 巴什博弈：$1$堆石子，总数$n$个，两名玩家轮流取，每次至少取1个，最多取m个，取走最后一个的玩家获胜。
    • 结论：可以发现不管怎么取都可以操作出$m+1$个石子，所以当$(m+1)|n$时先手必败。
  • 威佐夫博弈：$2$堆石子，石子数可以不同，两名玩家轮流取石子，每次可以从一堆中取或从两堆中取走相同个石子。取走最后一个石子的人获胜。
    • 结论：设$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，则第$i$个必败态($a_i,b_i$)满足$a_i=\lfloor ix\rfloor $,$b_i=i+a_i=\lfloor ix^2 \rfloor$.
    • 在实际代码中就是$min(a,b)=int(abs(a-b)\ast \frac{1+\sqrt{5}}{2})$则先手必败，反之$win$.
  • 斐波那契博弈：$1$堆石子，总数$n$个，两名玩家轮流取，先手不能一次取完，至少1个，之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。取走最后一个的获胜。
    • 结论：当且仅当石子个数为斐波那契数时先手必败。

• $Nim-SG$函数

  • 尼姆游戏的变种总结出来的规律。$Mex$运算： m e x ( S ) = min ⁡ { x ∈ N ∣ x ∉ S } { x } mex(S)=\min\limits_{\{x \in \mathbb{N} \mid x \not \in S \}} \{x\} mex(S)={x∈N∣x∈S}min​{x}也就是不在$S$集合中的最小自然数

  • $SG$函数计算每一个节点的$sg$值， S G ( x ) = m e x ( { S G ( y 1 ) , S G ( y 2 ) , … , S G ( y k ) } ) SG(x)=mex(\{SG(y_1),SG(y_2),\dots,SG(y_k)\}) SG(x)=mex({SG(y1​),SG(y2​),…,SG(yk​)})，其中$y_1,y_2,\dots ,y_k$是$x$的后继节点。

    def mex(lst):lst = list(set(lst))return next((idx for idx,num in enumerate(lst) if idx!=num),lst[-1]+1)
    def SG(lst,n):sg = [0]*(n+5)for i in range(1,n+1):sg[i] = mex([sg[i-j] for j in lst if i-j>=0])return sg
    

  • 这个模板基本通用了。