完全背包 ：有一个背包的容积为V，有N个物品，每个物品的体积为v[i]，权重为w[i]，每个物品可以取无限次放入背包中，背包所有物品权重和最大是多少？

背包最大重量为4，每个物品有无限个，物品的重量和价值如下：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

二维dp数组完全背包

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]数组表示从前i个物品中任意取，放进容量为j的背包中所得到的物品的最大价值。

2. 确定递推公式

有两个方向推出来dp[i][j]:

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。

  (其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)

• 放物品i：由dp[i][j - weight[i]]推出，注意这里和01背包的区别，因为可以重复放物品i，所以是dp[i][j - weight[i]]，表示背包容量为j - weight[i]的时候任取物品i的最大价值

• 递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

  • 如果物品i的重量大于背包容量j时，背包放不下，就不能选择物品i，dp[i][j] = dp[i - 1][j]；
  • 如果物品i的重量小于等于背包容量j时，dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])

3. dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义一致。

两种初始化情况：

• 背包容量j为0，不管选择哪些物品，所得到的物品最大价值一定为0，所以dp[i][0] = 0；
• 物品数量为0时，不论背包容量多大，所得到的物品最大价值一定为0，所以dp[0][j] = 0。

dp[i][j](物品\背包)	0	1	2	3	4
无物品	0	0	0	0	0
物品0	0
物品1	0
物品2	0

4. 确定遍历顺序

有两个遍历的维度：物品和背包，那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以，因为递推公式为dp[i][j] = dp[i - 1][j]和dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])这两种情况，不论哪种，dp[i - 1][j]和dp[i][j - weight[i]]都在dp[i][j]的左上角方向，而两种遍历顺序都能够获取到dp[i][j]左上角方向的值，先遍历物品会更好理解

5. 举例推导dp数组

dp[i][j](物品\背包)	0	1	2	3	4
无物品	0	0	0	0	0
物品0(重量1，价值15)	0	15	30	45	60
物品1(重量3，价值20)	0	15	30	45	60
物品2(重量4，价值30)	0	15	30	45	60

完整代码:

/*********************************************************************
完全背包
有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。
每件物品有无限个，即一个物品可以放入背包多次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
重量 价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30
*********************************************************************/
#include <iostream>
#include <vector> 
#include <string>
#include <algorithm> 
using namespace std;// 先遍历物品，在遍历背包
int bag1(vector<int> weight, vector<int> value, int bagweight) {vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagweight + 1, 0));for (int i = 1; i <= weight.size(); i++){for (int j = 0; j <= bagweight; j++){	// 遍历背包if (j < weight[i - 1]){dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{// 注意这里跟01背包只有下面一个下标不同，那就是“放i”这个选择，因为是可以重复放的，所以是dp[i]dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);}}}for (auto x : dp) {for (auto xx : x) {cout << xx << ' ';}cout << endl;}return dp[weight.size()][bagweight];
}int main(){vector<int> weight = { 1, 2, 3, 4 };vector<int> value = { 10, 21, 30, 43 };int bagweight = 5;int ret = bag1(weight, value, bagweight);cout << ret << endl;system("PAUSE");return 0;
}

一维滚动dp数组完全背包

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量为j的背包中所得到的物品的最大价值。

2. 确定递推公式

递推公式变为dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 0即可

4. 确定遍历顺序

01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次；而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历。

5. 举例推导dp数组

完整代码：

/*********************************************************************
完全背包
有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。
每件物品有无限个，即一个物品可以放入背包多次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
重量 价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30
*********************************************************************/
#include <iostream>
#include <vector> 
#include <string>
#include <algorithm> 
using namespace std;// 先遍历物品，在遍历背包
int bag1(vector<int> weight, vector<int> value, int bagweight) {vector<int> dp(bagweight + 1, 0);// 先遍历物品，再遍历背包for (int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = weight[i]; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}return dp[bagweight];
}int main(){vector<int> weight = { 1, 2, 3, 4 };vector<int> value = { 10, 21, 30, 43 };int bagweight = 5;int ret = bag1(weight, value, bagweight);cout << ret << endl;system("PAUSE");return 0;
}