从集合论到位运算

前言


本文将扫清位运算的迷雾,在集合论与位运算之间建立一座桥梁。

在高中,我们学了集合论(set theory)的相关知识。例如,包含若干整数的集合 S={0,2,3}。在编程中,通常用哈希表(hash table)表示集合。例如 Java 中的 HashSet,C++ 中的 std::unordered_set。

在集合论中,有交集 ∩、并集 ∪、包含于 ⊆等等概念。如果编程实现「求两个哈希表的交集」,需要一个一个地遍历哈希表中的元素。那么,有没有效率更高的做法呢?

该二进制登场了。

集合可以用二进制表示,二进制从低到高第 i 位为 1表示 i 在集合中,例如集合{0,2,3}可以用二进制1101表示;反过来,1101就对应集合{0,2,3}。正式地说,包含非负整数的集合S可以用以下方式压缩成一个数字:

                                                       f(S) = \sum_{i\in s}^{} 2^i

例如集合{0,2,3}可以压缩成2^0 + 2^2 + 2^3 = 13也就是二进制的1101。

利用位运算「并行计算」的特点,我们可以高效地做一些和集合有关的运算。按照常见的应用场景,可以分为以下四类:

  1. 集合与集合
  2. 集合与元素
  3. 遍历集合
  4. 枚举集合

一、集合与集合


其中 & 表示按位与,∣ 表示按位或,⊕ 表示按位异或,∼ 表示按位取反。

两个集合的「对称差」是只属于其中一个集合,而不属于另一个集合的元素组成的集合,也就是不在交集中的元素组成的集合。

术语集合位运算集合示例位运算示例
交集A∩Ba&b{0,2,3}∩{0,1,2} = {0,2}1101 & 0111 = 0101
并集A∪Ba ∣ b{0,2,3}∪{0,1,2} = {0,1,2,3}1101 | 0111 = 1111
对称差A Δ Ba⊕b{0,2,3}Δ{0,1,2} = {1,3}1101 ⊕ 0111 = 1010
A\Ba&∼b{0,2,3}\{1,2} = {0,3}1101 & 1001 = 1001

二、集合与元素

通常会用到移位运算。

其中 << 表示左移,>> 表示右移。

术语集合位运算集合示例位运算示例
空集0
单元素集合{i}1<<i{2}1<<2
全集U={0,1,2,⋯n−1}(1<<n)-1{0,1,2,3}(1<<4)-1
补集Cu​S=U\S((1<<n)-1)⊕sU={0,1,2,3}
Cu{1,2}={0,3}
1111 ⊕ 0110 = 1001
属于i \in S(s >> i) & 1=12 \in [{0,2,3}](1101 >> 2) & 1=1
不属于i \notin S(s >> i) & 1=01\notin [0,2,3](1101 >> 1) & 1=0
添加元素S∪{i}s | (1<<i){0,3}∪{2}1001 ∣ (1 << 2)
删除元素S \ {i}s&∼(1 << i){0,2,3}\{2}1101&∼(1 << 2)

特别地,如果 𝑠 是 2 的幂,那么 𝑠 &( 𝑠 − 1) =0。

此外,编程语言提供了一些和二进制有关的库函数,例如:

  • 计算二进制中的 1 的个数,也就是集合大小;
  • 计算二进制长度,减一后得到集合最大元素;
  • 计算二进制尾零个数,也就是集合最小元素。

三、遍历集合

设元素范围从0到n-1,挨个判断每个元素是否在集合s中

for (int i = 0; i < n; i++) {if ((s >> i) & 1) { // i 在 s 中// 处理 i 的逻辑}
}

四、枚举集合

枚举所有集合

设元素范围从 0 到 n−1,从空集 ∅ 枚举到全集 U:

for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {// 处理 s 的逻辑
}

枚举非空子集

设集合为 𝑠,从大到小枚举 𝑠 的所有非空子集 sub:

for (int sub = s; sub; sub = (sub - 1) & s) {// 处理 sub 的逻辑
}

为什么要写成 sub = (sub - 1) & s 呢?

暴力做法是从s开始,不断减一,直到0但这样做,中途会遇到很多不是s的子集的情况。例如s=10101时,减1得到10100,这是s的子集,但是再减1就得到10011了。这并不是s的子集。下一个子集应该是10001。

把所有的合法子集按顺序列出来,会发现我们做的相当于「压缩版」的二进制减法,例如

                                10101→10100→10001→10000→00101→⋯

如果忽略掉 10101 中的两个 0,数字的变化和二进制减法是一样的,即

                                        111→110→101→100→011→⋯

如何快速跳到下一个子集呢?比如,怎么从 10100 跳到 10001?

  • 普通的二进制减法,是10100-1=10011,也就是把最低位的1变成0,对于最低位的1右边的0都变成1。
  • 压缩版的二进制减法也是类似的,对于10100->10001,也会把最低位的1变成0,对于最低位的1右边的0,并不是都变成1,只有在s=10101中的1才会变成1。怎么做到?减1后&10101就行,也就是(10100-1)&10101 = 10001

枚举子集(包含空集)

如果要从大到小枚举 𝑠 的所有子集 sub(从 𝑠 枚举到空集 ∅),可以这样写:

int sub = s;
do {// 处理 sub 的逻辑sub = (sub - 1) & s;
} while (sub != s);

原理是当sub=0时(空集),再减1就得到-1,对应的二进制位111...1,在&s就得到了s,所以循环到sub=s时,说明最后一次循环sub=0(空集),s的所有子集都枚举到了。退出循环。

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