「清新题精讲」Skiers

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Description

给定 n n n 个点的有向无环平面图,求最少多少条从 1 1 1 n n n 的路径能覆盖原图的所有边?

1 ≤ n ≤ 5 × 1 0 3 1\le n\le 5\times10^3 1n5×103

Solution

考虑从 1 1 1 n n n 的路径其实是边的链覆盖,那么最小链覆盖即为求解的答案。通过 Dilworth 定理可知,最小链覆盖等于最大反链,从而问题转化为求最大反链(两两无法到达的边的集合)。

例如:图示的有向无环平面图, 1 1 1 号点为起点, 7 7 7 号点为汇点。最大反链是 3 , 4 , 5 , 8 3,4,5,8 3,4,5,8 边构成的集合(注意集合不唯一),不难发现原图的答案就是 4 4 4

考虑如何求解最大反链,可以将平面图转化为对偶图,则最大反链即为对偶图的最长路。

如图,给出了原图的对偶图的最长路,注意这里多开了虚拟起点和汇点。

那么,怎么求最长路呢,这里给出一种简单又迅速的做法,从起点开始 DFS,如果遍历到 1 1 1 个点之前已经遍历过了,那么说明多出了一条对偶图的边。

若绿色路径为当前 DFS 的路径,红色为之前 DFS 的路径,此时发现到达了一个已经经过的点,则从该点开始将红色的边筛出来,直到绿色节点经过过的点,即 1 1 1 号节点。用红色边最长路 + 1 +1 +1 再去更新绿色边的最长路即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define int long longusing namespace std;typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;const int N = 5e3 + 10, M = 3 * N;int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int st[N], dp[M];
PII lst[N];void add(int a, int b) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], dp[idx] = 1, h[a] = idx ++;
}
void dfs(int u) {st[u] = 1;for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {int v = e[i];if (st[v] == 0) lst[v] = {u, i}, dfs(v);else {int res = 0, tmp = u;while (st[v] == -1) res = max(res, dp[lst[v].se] + 1), v = lst[v].fi;dp[i] = res;while (tmp != v) dp[lst[tmp].se] = res, tmp = lst[tmp].fi;lst[e[i]] = {u, i};}}st[u] = -1;
}signed main() {cin.tie(0);cout.tie(0);ios::sync_with_stdio(0);cin >> n;memset(h, -1, sizeof h);int k, x;for (int i = 1; i < n; i ++) {cin >> k;for (int j = 1; j <= k; j ++)cin >> x, add(i, x);}dfs(1);int res = 0;for (int i = 0; i < idx; i ++)res = max(res, dp[i]);cout << res << endl;return 0;
}

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