裂差

知识点 $1$

$$\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$$

证明：

$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{b-a}{ab}\\ =& \frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}\\ =& \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\end{array}$$

好的各位，直接上题目（自信）！

例题 $1$

$$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}=?$$

嗯，不难，我们把每一项都使用裂项拆开，再抵消：
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}\\ =& (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\ =& 1-\frac{1}{100}\\ =& 0.99\end{array}$$

是不是非常简单？

习题 $1$

习题 $1.1$

$$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 8}+\frac{1}{8\times 16}+\cdots +\frac{1}{2^{99}\times 2^{100}}=?（结果保留幂次方）$$

知识点 $2$

叫做：万物皆可裂。
$$\frac{x}{ab}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\frac{x}{b-a}$$
对的，只要分母可以写成两数之积，就一定可以裂差。
证明：先强制裂，然后调整。
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{x}{ab}\\ =& \frac{x}{b-a}\times \frac{b-a}{ab}\\ =& (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\frac{x}{b-a}\end{array}$$

例题 $2$

来个简单的吧……
$$\frac{2}{1\times 4}+\frac{2}{4\times 7}+\frac{2}{7\times 10}+\cdots +\frac{2}{97\times 100}=?$$

嗯，不难，我们把每一项都使用强制裂项拆开，提取公因数，再抵消：
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{2}{1\times 4}+\frac{2}{4\times 7}+\frac{2}{7\times 10}+\cdots +\frac{2}{97\times 100}\\ =& \frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})+\frac{2}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\frac{2}{3}(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\cdots +\frac{2}{3}(\frac{1}{97}-\frac{1}{100})\\ =& \frac{2}{3}(1-\frac{1}{100})\\ =& 0.66\end{array}$$

是不是非常简单？

习题

懒得出了/kk
在这里挖个