题外话：全文免费放心食用，作者在此求个 三连+关注

1. Integer Multiplication（引入）

（很小的时候我们就学过：两个数字相乘的算法——将输入(两个数字)转换为输出(它们的乘积)的一组定义良好的规则；算法就是类似的：一个计算问题(输入和期望的输出)，然后描述一个或多个解决该问题的算法）

1）定义计算问题：在整数乘法问题中，输入是两个n位数，我们称之为x和y, x和y的长度n可以是任意正整数；整数乘法问题的期望输出就是x·y

2）定义primitive operations：

     (i) 两个个位数相加;(ii) 两个个位数相乘;(iii)在数字的开头或结尾添加零  

e.g:  x = 5678 and y = 1234 (so n = 4).

计算会有n=4行，每行最多2n个操作（primitive operations）

所以最多会有 n · 2n 次 primitive operations

3）改进——下一节 3Karatsuba Multiplication

2.Karatsuba Multiplication

1）为了将x的前半部分和后半部分看作独立的数字，a = 56，b = 78，c = 12，d = 34

2）执行一系列只涉及两位数a, b, c和d的运算

3）将所有项集合在一起，得到x和y的乘积

第一步:计算a·c = 56·12 = 672

第二步:计算b·d = 78·34 = 2652

第三步:计算(a + b)·(c + d) = 134·46 = 6164

第四步:用第三步的结果减去前两步的结果:6164 - 672 - 2652 = 2840

第五步:计算104·672 + 102·2840 + 2652 = 6720000 + 284000 + 2652 = 70066552

2.1  A Recursive Algorithm（引入方便理解）

整数乘法递归方法

偶数n位：

伪代码（有个印象就行）：

2.2 转回Karatsuba乘法

Karatsuba乘法是RecIntMult算法的优化版本

我们并不真正关心a·d或b·c，而是它们的和a·d + b·c

因此：只有三个量——a·c, a·d + b·c和b·d

Step 1: Recursively递归 compute a · c 

Step 2: Recursively compute b · d

Step 3: Compute a + b and c + d , and recursively compute (a + b) · (c + d)——至此：三次递归

Step 4:用Step 3的结果减去前两步的结果，得到a·d + b·c

Step 5:乘10n次方在step 1的answer，乘10(n/2)次方在step 3的answer,最后把所有结果相加

因此，Karatsuba乘法只进行三次递归调用! 节省递归调用可以节省总体运行时间

3.MergeSort Algorithm

特点

• Canonical divide-and-conquer algorithm 规范的分治算法：将问题分解为更小的子问题，递归地求解子问题，最后将子问题的解合并为原始问题的解

3.1 Sorting—拓展：十种基本的排序

1.0 十大经典排序算法 | 菜鸟教程 (runoob.com)

3.2 MergeSort—Example

1.递归

As a recursive divide-and-conquer algorithm作为递归分治算法, MergeSort 拆分成了两部分进行递归；第一组递归对前半部分进行排序，返回数组{1,4,5,8}；第二组递归调用返回数组{2,3,6,7}；最后合并两组

2.合并 Merge Subroutine 子程序

使用索引 k 遍历输出数组，并使用索引 i 和 j 遍历已排序的子数组。所有三个数组都是从左到右遍历的

第3行中的for循环实现了对输出数组的传递。在第一次迭代中，子例程识别C或D中的最小元素，并将其复制到输出数组b的第一个位置。总的来说，最小元素要么在C中(在这种情况下，它是C[1]，因为C是排序的)，要么在D中(在这种情况下，它是D[1]，因为D是排序的)。

3.3 MergeSort—分析

因为mergesort相当于是递归+merge，所以会涉及到对递归树的分析

层数计算：

每一层的子问题&子问题大小：

4. Asymptotic Analysis 渐进分析

4.1 Big-O Notation 基础

是什么？

• 为了讨论算法的设计和分析——为讨论算法的high-level performance提供了一个最佳点
• 粗糙：压制住想要忽略的细节，细节取决于architecture、programming language、compiler...
• 敏锐：常见问题的不同高级算法间进行预测性比较，尤其是large inputs

 “O”---为了找到解决问题的最佳高级算法

意思就是：

suppress constant factors & lower-order terms

抑制常数项和低阶项

结合下面例子：

抑制6n和“6”

所以running time是“big-O of nlog n” 即  O(nlogn)

例子1：

running time：O(n)

例子2：

running time：O(n)

为啥呢？其实是2n但2被抑制了

例子3：

running time：O()

例子4：

running time：O()

解释：外部循环从1到n，内部循环从i+1到n。内部循环的迭代次数取决于外部循环的当前迭代次数。

考虑最坏的情况，数组A中的所有元素都是相同的。在这种情况下，内部循环的迭代次数为： 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = n*(n-1)/2，总的迭代次数为n*(n-1)/2

4.2 Big-O Notation 正式定义

Big-O notation 关注 T(n)，n = 1, 2,....