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💌 01.硬币最少组合问题

问题描述

K小姐有一个爱好就是收集各种硬币。有一天，她在整理自己的硬币收藏时，突然想到了一个有趣的问题。如果给定一个总金额 $amount$，能够用手上现有的硬币面值组合成该金额，需要的硬币数量最少是多少枚呢？

现在已知K小姐有 $5$ 种不同面值的硬币，分别为 $1$、$2$、$5$、$10$、$20$、$50$、$100$ 元，每种面值的硬币数量都是无限的。请你帮助K小姐设计一个程序，快速计算出给定总金额所需的最少硬币组合。

输入格式

输入仅包含一个正整数 $amount$，表示要求组合的目标总金额，单位为元。

输出格式

输出最少硬币组合，从大到小按面值顺序输出，硬币面值间用空格分隔。若无法用现有面值组合出目标总金额，则输出 $-1$。

样例输入

8

样例输出

5 2 1

数据范围

$1\le amount\le 10^5$

题解

这是一个典型的动态规划问题。可以定义一个一维数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示组合成金额 $i$ 所需的最少硬币数量。

先将 $dp$ 数组初始化为一个较大的值，表示暂时无法组合出该金额。然后对于每一种面值的硬币，遍历 $amount$，尝试更新 $dp[j]$ 的值。具体来说，对于面值为 $val$ 的硬币，可以将金额 $j$ 拆分为 $val$ 和 $j-val$ 两部分，即 $dp[j]=dp[j-val]+1$，表示组合成金额 $j$ 的最少硬币数等于组合成金额 $j-val$ 的最少硬币数再加上当前这枚面值为 $val$ 的硬币。

最后，再从 $dp[amount]$ 开始回溯，找出凑成总金额的硬币组合方案。具体做法是，从 $amount$ 开始，如果 $dp[j]=dp[last]-1$，即找到了上一个状态，就将两个状态的差值 $last-j$ 加入答案数组中，然后令 $last=j$，直到 $j$ 减小到 $0$ 为止。因为要求输出的硬币面值要从大到小排列，所以最后再对答案数组逆序输出即可。

参考代码

• Python

import sysn = int(sys.stdin.readline().strip())
coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100]
INF = float('inf')dp = [INF] * (n + 1)
dp[0] = 0for val in coins:for j in range(val, n + 1):dp[j] = min(dp[j], dp[j - val] + 1)if dp[n] == INF or n == 0:print(-1)exit(0)result = []
last, j = n, n
while j >= 0:if dp[j] == dp[last] - 1:result.append(last - j)last = jj -= 1print(*reversed(result))

• Java

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int[] coins = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};int INF = Integer.MAX_VALUE;int[] dp = new int[n + 1];Arrays.fill(dp, INF);dp[0] = 0;for (int val : coins) {for (int j = val; j <= n; j++) {dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - val] + 1);}}if (dp[n] == INF || n == 0) {System.out.println(-1);return;}List<Integer> result = new ArrayList<>();int last = n, j = n;while (j >= 0) {if (dp[j] == dp[last] - 1) {result.add(last - j);last = j;}j--;}Collections.reverse(result);for (int num : result) {System.out.print(num + " ");}}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;int main() {int n;cin >> n;vector<int> coins = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};vector<int> dp(n + 1, INF);dp[0] = 0;for (int val : coins) {for (int j = val; j <= n; j++) {dp[j] = min(dp[j], dp[j - val] + 1);}}if (dp[n] == INF || n == 0) {cout << -1 << endl;return 0;}vector<int> result;int last = n, j = n;while (j >= 0) {if (dp[j] == dp[last] - 1) {result.push_back(last - j);last = j;}j--;}reverse(result.begin(), result.end());for (int num : result) {cout << num << " ";}return 0;
}

🗳 02.单词拆分问题

问题描述

LYA最近在学习一门新的外语，他发现有些外来词在词典中并没有收录。为了方便学习和记忆，他想将这些生词拆分成词典中已有的单词。

现在给定一个词典，其中每个单词都有一个正整数权重。对于一个待拆分的单词，可以将其拆分成词典中出现的单词，且拆分得到的单词序列的权重之和最大。

例如，词典中有 $i$、$flytek$、$inly$ 三个单词，权重分别为 $3$、$1$、$5$。对于单词 $ilytek$，可以拆分成 $i/flytek$ 或 $ily/tek$，对应的权重之和分别为 $4$ 和 $8$，因此应该拆分为 $ily/tek$。

假设词典中最多有 $100$ 个单词，每个单词的长度不超过 $50$ 个字符。请你帮助LYA设计一个程序，能够根据词典将输入的单词拆分成权重之和最大的形式。

输入格式

第一行包含整数 $N$，表示词典中单词的个数。

接下来 $N$ 行，每行包含一个单词和对应的权重值，以空格分隔。

最后一行输入一个待拆分的单词。

输出格式

如果可以将输入的单词拆分，则输出拆分后的结果，单词之间用 $/$ 隔开。如果无法拆分，则原样输出待拆分的单词。

样例输入

7
ba 1
cef 2
cefs 3
s 2
dok 6
sdok 9
ok 3
bacefsdok

样例输出

/ba/cef/sdok

数据范围

$1\le N\le 100$
$1\le$ 单词长度 $\le 50$

题解

本题可以使用动态规划来解决。设 $dp[i]$ 表示将前 $i$ 个字符拆分得到的最大权重和，$fore[i]$ 表示前 $i$ 个字符拆分得到最大权重和时，最后一个单词的前一个字符的下标。

我们可以从前往后枚举每个字符作为当前拆分的结束位置，然后枚举上一个单词的结束位置，判断中间这一段是否能在词典中找到。如果能找到，就更新 $dp[i]$ 和 $fore[i]$。

最后，如果 $dp[n]$ 的值没有被更新过，说明无法拆分，原样输出单词。否则，从 $fore[n]$ 开始，依次向前跳转，就能得到拆分的单词序列。

参考代码

• Python

def main():n = int(input())words = {}for _ in range(n):word, weight = input().split()words[word] = int(weight)s = input()m = len(s)dp = [-float('inf')] * (m + 1)fore = [-1] * (m + 1)dp[0] = 0for i in range(1, m + 1):for j in range(i):word = s[j:i]if word in words and dp[j] + words[word] > dp[i]:dp[i] = dp[j] + words[word]fore[i] = jif dp[m] == -float('inf'):print(s)else:res = []i = mwhile i > 0:res.append(s[fore[i]:i])i = fore[i]print('/' + '/'.join(res[::-1]))if __name__ == "__main__":main()

• Java

import java.io.*;
import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));int n = Integer.parseInt(br.readLine());Map<String, Integer> words = new HashMap<>();for (int i = 0; i < n; i++) {String[] input = br.readLine().split(" ");words.put(input[0], Integer.parseInt(input[1]));}String s = br.readLine();int m = s.length();int[] dp = new int[m + 1];Arrays.fill(dp, Integer.MIN_VALUE);int[] fore = new int[m + 1];dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {String word = s.substring(j, i);if (words.containsKey(word) && dp[j] + words.get(word) > dp[i]) {dp[i] = dp[j] + words.get(word);fore[i] = j;}}}if (dp[m] == Integer.MIN_VALUE) {System.out.println(s);} else {List<String> res = new ArrayList<>();int i = m;while (i > 0) {res.add(s.substring(fore[i], i));i = fore[i];}Collections.reverse(res);System.out.println("/" + String.join("/", res));}}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <vector>
#include <climits>
#include <algorithm>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;unordered_map<string, int> words;for (int i = 0; i < n; i++) {string word;int weight;cin >> word >> weight;words[word] = weight;}string s;cin >> s;int m = s.length();vector<int> dp(m + 1, INT_MIN);vector<int> fore(m + 1);dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {string word = s.substr(j, i - j);if (words.count(word) && dp[j] + words[word] > dp[i]) {dp[i] = dp[j] + words[word];fore[i] = j;}}}if (dp[m] == INT_MIN) {cout << s << endl;} else {vector<string> res;int i = m;while (i > 0) {res.push_back(s.substr(fore[i], i - fore[i]));i = fore[i];}reverse(res.begin(), res.end());cout << "/" << res[0];for (int i = 1; i < res.size(); i++) {cout << "/" << res[i];}cout << endl;}return 0;
}

🎀 03.K小姐的幸运评论

题目描述

K小姐是一位著名的博主,她在社交平台上发布了一篇文章。文章发布后,粉丝们纷纷在评论区留下了自己的观点和看法。为了鼓励大家积极评论,K小姐决定从评论者中选出一位"最幸运评论者",送出神秘大奖。

评论者的选取规则如下:

1. 每个评论都有一个唯一的编号,从 $0$ 开始递增。
2. 每个评论下面都有点赞和点踩功能,定义每条评论的净赞数量为该评论点赞数减去点踩数。净赞数量可以是负数。
3. 在编号连续的评论段中,存在一个净赞数量之和最大的区间,记为区间 $[l,r]$。
4. 在区间 $[l,r]$ 内净赞数最多的评论者即为"最幸运评论者"。如果有并列,则取编号最大的评论者。

现在请你帮助K小姐设计一个程序,处理评论数据,找出这位幸运的粉丝。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$,表示评论的总数。

第二行包含 $n$ 个整数,每个整数表示一条评论的净赞数量。

输出格式

输出共 $1$ 行,包含 $5$ 个整数 $l,r,maxv,p,v$,分别表示最大净赞区间的左右端点编号、区间内净赞总量、"最幸运评论者"的编号、该评论者的净赞数量。

样例输入

10
-99 -58 -52 7 89 48 43 -10 94 69

样例输出

3 9 340 8 94

数据范围

$1\le n\le 10^5$
$-10^4\le$ 净赞数量 $\le 10^4$

题解

本题是一道经典的最大子段和问题,但是在此基础上还需要找出最大子段中的最大值及其位置。

我们可以使用动态规划来解决最大子段和问题。定义 $dp[i]$ 表示以位置 $i$ 结尾的最大子段和,$dp[i]$ 的状态转移方程为:

$$dp[i]=\{\begin{array}{ll}nums[i]& ,\text{if }dp[i-1]\le 0\\ dp[i-1]+nums[i]& ,\text{otherwise}\end{array}$$

同时我们需要记录区间的左右端点、区间内的最大值及其位置。

• 当 $dp[i-1]\le 0$ 时,说明前面的子段和为负,舍弃前面的部分,从位置 $i$ 开始重新计算区间。
• 当 $dp[i-1]>0$ 时,前面的子段和为正,可以继续延伸当前区间。
• 记录最大子段和 $maxSum$,以及对应的左右端点 $l,r$。
• 用单独的变量 $maxNum,pos$ 记录区间内的最大值和对应下标。

最后,输出 $l,r,maxSum,pos,maxNum$ 即可。

时间复杂度 $O(n)$,空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组长度。

参考代码

• Python

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))l = r = 0
maxSum = float('-inf')
dp = [0] * n
dp[0] = nums[0]
maxNum = nums[0] 
pos = 0for i in range(1, n):if dp[i-1] > 0:dp[i] = dp[i-1] + nums[i]else:dp[i] = nums[i]l = iif dp[i] > maxSum:maxSum = dp[i]r = iif nums[i] > maxNum:maxNum = nums[i]pos = iprint(l, r, maxSum, pos, maxNum)

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int[] nums = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {nums[i] = sc.nextInt();}int l = 0, r = 0;int maxSum = Integer.MIN_VALUE; int[] dp = new int[n];dp[0] = nums[0];int maxNum = nums[0];int pos = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {if (dp[i-1] > 0) {dp[i] = dp[i-1] + nums[i];} else {dp[i] = nums[i];l = i;}if (dp[i] > maxSum) {maxSum = dp[i];r = i;}if (nums[i] > maxNum) {maxNum = nums[i];pos = i;}}System.out.print(l + " " + r + " " + maxSum + " " + pos + " " + maxNum);}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;vector<int> nums(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> nums[i];}int l = 0, r = 0;int maxSum = INT_MIN;vector<int> dp(n);dp[0] = nums[0];int maxNum = nums[0];int pos = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {if (dp[i-1] > 0) {dp[i] = dp[i-1] + nums[i];} else {dp[i] = nums[i];l = i;}if (dp[i] > maxSum) {maxSum = dp[i];r = i;}if (nums[i] > maxNum) {maxNum = nums[i];pos = i;}}cout << l << " " << r << " " << maxSum << " " << pos << " " << maxNum << endl;return 0;
}

写在最后

📧 KK这边最近正在收集近一年互联网各厂的笔试题汇总，如果有需要的小伙伴可以关注后私信一下 KK领取，会在飞书进行同步的跟新。