文章目录
- 为什么需要插值算法?
- 插值算法是什么?
- 有哪些常见的插值算法呢?
- 1. 线性插值(Linear Interpolation)
- 2. 多项式插值(Polynomial Interpolation)
- 3. 样条插值(Spline Interpolation)
- 4. 最近邻插值(Nearest-Neighbor Interpolation)
- 5. 双线性插值(Bilinear Interpolation)
- 6. 双三次插值(Bicubic Interpolation)
- 7. 克里金插值(Kriging Interpolation)
- 直线如何线性插值?
- 1、暴力法
- 2、优化法
- 效果展示:
- 结尾:喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦
为什么需要插值算法?
不说大道理,承接上文直线光栅化。已知屏幕两个点,计算出以这两点为端点的直线经过的所有像素,准确的说是像素点的坐标;但是,像素是有颜色属性的,端点的颜色已知,但是中间点颜色是未知的,这时候为了给这些中间点补充颜色属性,就需要引入插值算法,在这个场景下就叫直线的线性插值!
插值算法是什么?
插值算法是一种通过已知数据点值来估计未知数据点值的方法。基本思想:基于已知数据点构建一个函数,该函数能够通过这些点,并估计这些点之间的值!
有哪些常见的插值算法呢?
1. 线性插值(Linear Interpolation)
线性插值是一种最简单的插值方法,它假设两个相邻点之间的函数变化是线性的。即,对于两个已知数据点 ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) (x_0,y_0),(x_1,y_1) (x0,y0),(x1,y1) ,插值点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 可以通过以下公式计算:
y = y 0 + ( y 1 − y 0 ) ( x − x 0 ) ( x 1 − x 0 ) y = y_0 + \frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{(x_1-x_0)} y=y0+(x1−x0)(y1−y0)(x−x0)
线性插值简单且计算快速,但它只能在两个已知点之间产生线性估计,可能不适用于变化较复杂的数据。
2. 多项式插值(Polynomial Interpolation)
多项式插值使用一个多项式函数来通过所有已知数据点。拉格朗日插值(Lagrange Interpolation)和牛顿插值(Newton Interpolation)是两种常见的多项式插值方法。对于 𝑛+1个数据点,可以找到一个 𝑛 次多项式通过这些点:
P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
多项式插值可以提供更精确的估计,但当点数较多时,高次多项式可能出现震荡现象(龙格现象)。
3. 样条插值(Spline Interpolation)
样条插值使用低次多项式段(通常是三次样条)连接所有数据点,同时确保在每个数据点处多项式的连续性和光滑性。三次样条插值常用于曲线拟合和图形处理。
4. 最近邻插值(Nearest-Neighbor Interpolation)
最近邻插值使用距离目标点最近的已知点的值作为估计值。这种方法简单且计算快速,但可能会导致不连续和不平滑的结果。
5. 双线性插值(Bilinear Interpolation)
双线性插值用于二维数据网格,它在每个方向上进行线性插值。对于四个相邻点,插值点的值通过对两个方向的线性插值计算得出。它常用于图像处理中的像素值插值。
6. 双三次插值(Bicubic Interpolation)
双三次插值使用三次多项式进行插值,比双线性插值能产生更平滑的结果。它通常用于高质量图像缩放。
7. 克里金插值(Kriging Interpolation)
克里金插值是一种地统计学方法,基于已知点的统计性质进行插值。它考虑了空间自相关性,常用于地理信息系统(GIS)和环境科学。
直线如何线性插值?
问题描述:已知直线起始端点 p 0 = ( x 0 , y 0 ) p_0 = (x_0, y_0) p0=(x0,y0) , p 1 = ( x 1 , y 1 ) p_1 = (x_1, y_1) p1=(x1,y1), f ( p 0 ) = v 0 f(p_0) = v_0 f(p0)=v0 , f ( p 1 ) = v 1 f(p_1) = v_1 f(p1)=v1,求直线上任意一点 p = ( x , y ) p=(x,y) p=(x,y), f ( p ) = ? f(p) = ? f(p)=?
1、暴力法
算法步骤描述:
-
计算 p 0 p_0 p0 到 p 1 p_1 p1 的距离,记为 d d d
-
计算 p p p 到 p 0 p_0 p0 和 p 1 p_1 p1 的距离,分别记为 d 0 d_0 d0 和 d 1 d_1 d1
-
计算权值 w e i g h t = d 0 / d weight = d_0 / d weight=d0/d
-
计算 p p p点的属性值 f ( p ) = w e i g h t ∗ f ( p 1 ) + ( 1 − w e i g h t ) ∗ f ( p 0 ) f(p) = weight * f(p_1) + (1 - weight) * f(p_0) f(p)=weight∗f(p1)+(1−weight)∗f(p0)
如图所示:
2、优化法
本质思路:计算点和点的距离是比较耗时的,咱们可以用初中数学知识,相似三角形从而简化问题的计算,提高性能!
算法步骤描述:
-
计算 d x = x 1 − x 0 d_x = x_1 - x_0 dx=x1−x0 和 d y = y 1 − y 0 d_y = y_1 - y_0 dy=y1−y0 ,咱们假设 d x ! = 0 d_x != 0 dx!=0 其实y方向也是类似同理
-
计算 d p = x − x 0 d_p = x - x_0 dp=x−x0
-
计算权值 w e i g h t = d p / d x weight = d_p / d_x weight=dp/dx
-
计算 p p p点的属性值 f ( p ) = w e i g h t ∗ f ( p 1 ) + ( 1 − w e i g h t ) ∗ f ( p 0 ) f(p) = weight * f(p_1) + (1 - weight) * f(p_0) f(p)=weight∗f(p1)+(1−weight)∗f(p0)
如图所示:
效果展示:
咱们用一个从红色到绿色的直线,上效果图:
结尾:喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦
希望对各位小伙伴能够有所帮助哦,永远在学习的道路上伴你而行, 我是航火火,火一般的男人!