【贪心算法】最小生成树Kruskal算法Python实现

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      • 问题描述
      • 最小生成树的性质
        • 证明
      • `Kruskal`算法
      • `Python`实现
      • 时间复杂性

问题描述

  • G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E)是无向连通带权图, E E E中每条边 ( v , w ) (v , w) (v,w)的权为 c [ v ] [ w ] c[v][w] c[v][w]
  • 如果 G G G的一个子图 G ′ G^{'} G是一棵包含 G G G的所有顶点的树,则称 G ′ G^{'} G G G G的生成树
  • 生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费,在 G G G的所有生成树中,耗费最小的生成树称为 G G G的最小生成树

最小生成树的性质

  • G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E)是连通带权图, U U U V V V的真子集,如果 ( u , v ) ∈ E (u , v) \in E (u,v)E,且 u ∈ U u \in U uU v ∈ V − U v \in V - U vVU,且在所有这样的边中, ( u , v ) (u , v) (u,v)的权 c [ u ] [ v ] c[u][v] c[u][v]最小,那么一定存在 G G G的一棵最小生成树,它以 ( u , v ) (u , v) (u,v)为其中一条边
  • 这个性质有时也称为 M S T MST MST性质
证明
  • 假设 G G G的任何一棵最小生成树都不包含边 ( u , v ) (u , v) (u,v),将边 ( u , v ) (u , v) (u,v)添加到 G G G的一棵最小生成树 T T T上,将产生含有边 ( u , v ) (u , v) (u,v)的圈,并且在这个圈上有一条不同于 ( u , v ) (u , v) (u,v)的边 ( u ′ , v ′ ) (u^{'} , v^{'}) (u,v),使得 u ′ ∈ U u^{'} \in U uU v ′ ∈ V − U v^{'} \in V - U vVU,如下图所示

1

  • 将边 ( u ′ , v ′ ) (u^{'} , v^{'}) (u,v)删去,得到 G G G的另一棵生成树 T ′ T^{'} T,由于 c [ u ] [ v ] ≤ c [ u ′ ] [ v ′ ] c[u][v] \leq c[u^{'}][v^{'}] c[u][v]c[u][v],所以 T ′ T^{'} T的耗费 ≤ T \leq T T的耗费,于是 T ′ T^{'} T是一棵含有边 ( u , v ) (u , v) (u,v)的最小生成树,与假设矛盾

Kruskal算法

  • 给定无向连通带权图 G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E) V = { 1 , 2 , ⋯ , n } V = \set{1 , 2 , \cdots , n} V={1,2,,n}
  • 首先将 G G G n n n个顶点看成 n n n个孤立的连通分支,将所有的边按权从小到大排序,然后从第一条边开始,依边权递增的顺序查看每条边,并按下述方法连接两个不同的连通分支
  • 当查看到第 k k k条边 ( v , w ) (v , w) (v,w)时,如果端点 v v v w w w分别是当前两个不同的连通分支 T 1 T_{1} T1 T 2 T_{2} T2中的顶点时,就用边 ( v , w ) (v , w) (v,w) T 1 T_{1} T1 T 2 T_{2} T2连接成一个连通分支,然后继续查看第 k + 1 k + 1 k+1条边;如果端点 v v v w w w在当前的同一个连通分支中,就直接再查看第 k + 1 k + 1 k+1条边
  • 这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止,此时这个连通分支就是 G G G的一棵最小生成树

Python实现

class Graph:def __init__(self, vertices):self.V = vertices  # 图中顶点的数量self.graph = []  # 存储图的边的列表def addEdge(self, u, v, w):self.graph.append([u, v, w])  # 添加边到图的边列表def find(self, parent, i):if parent[i] == i:  # 如果顶点 i 的根节点是自身, 则返回 ireturn ireturn self.find(parent, parent[i])  # 递归查找 i 的根节点def union(self, parent, rank, x, y):root_x = self.find(parent, x)  # 查找顶点 x 的根节点root_y = self.find(parent, y)  # 查找顶点 y 的根节点if rank[root_x] < rank[root_y]:  # 如果 x 的根节点的秩小于 y 的根节点的秩parent[root_x] = root_y  # 将 x 的根节点连接到 y 的根节点elif rank[root_x] > rank[root_y]:  # 如果 x 的根节点的秩大于 y 的根节点的秩parent[root_y] = root_x  # 将 y 的根节点连接到 x 的根节点else:  # 如果 x 和 y 的根节点的秩相同parent[root_y] = root_x  # 将 y 的根节点连接到 x 的根节点rank[root_x] += 1  # 增加 x 的根节点的秩def kruskalMST(self):result = []  # 存储最小生成树的边的列表i = 0  # 当前处理的边的索引e = 0  # 已经加入最小生成树的边的数量self.graph = sorted(self.graph, key=lambda x: x[2])  # 按照边的权重对图的边进行排序parent = []  # 存储顶点的父节点rank = []  # 存储顶点的秩for node in range(self.V):parent.append(node)  # 每个顶点的初始父节点是自身rank.append(0)  # 每个顶点的初始秩是 0while e < self.V - 1:  # 当最小生成树的边的数量小于 V - 1 时, 继续循环u, v, w = self.graph[i]  # 获取当前处理的边的源顶点、目标顶点和权重i += 1  # 增加边的索引x = self.find(parent, u)  # 查找 u 的根节点y = self.find(parent, v)  # 查找 v 的根节点if x != y:  # 如果 u 和 v 不在同一个连通分量中(不会形成环路)e += 1  # 增加已加入最小生成树的边的数量result.append([u, v, w])  # 将该边加入最小生成树的结果中self.union(parent, rank, x, y)  # 合并 u 和 v 所在的连通分量print('边\t\t权')for u, v, weight in result:print(f'{u} - {v}\t{weight}')  # 打印最小生成树的边和权重g = Graph(5)g.addEdge(0, 1, 2)
g.addEdge(0, 3, 6)
g.addEdge(1, 3, 8)
g.addEdge(1, 2, 3)
g.addEdge(1, 4, 5)
g.addEdge(2, 4, 7)
g.addEdge(3, 4, 9)g.kruskalMST()
边		权
0 - 1	2
1 - 2	3
1 - 4	5
0 - 3	6

时间复杂性

  • 当图的边数为 e e e时,Kruskal算法所需的时间是 O ( e log ⁡ e ) O(e \log{e}) O(eloge)
  • e = Ω ( n 2 ) e = \Omega(n^{2}) e=Ω(n2)时,Kruskal算法比Prim算法差,当 e = o ( n 2 ) e = o(n^{2}) e=o(n2)时,Kruskal算法比Prim算法好得多

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