在这个实验中，你将扩展数据结构和之前开发的程序，以 支持多个特征。一些程序已经更新，使得实验看起来很长，但它只是对之前的程序进行了轻微调整，使得复习起来很快。

1.1 目标

• 扩展我们的回归模型程序，支持多个特征
• 扩展数据结构，以支持多个特征
• 重写预测、成本和梯度程序，以支持多个特征
• 利用NumPy np.dot 来向量化它们的实现，以提高速度和简化操作

import copy, math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')
np.set_printoptions(precision=2)  # reduced display precision on numpy arrays

• 解释一下：np.set_printoptions(precision=2)

  这段代码设置了NumPy打印数组时的选项，其中precision参数设置了打印浮点数时的精度。在这里，precision=2表示浮点数将被打印为小数点后保留两位的形式。

2 问题陈述

您将使用房价预测的示例。训练数据集包含三个示例，具有四个特征（大小、卧室数、楼层数和房龄），如下表所示。请注意，与之前的实验室不同，此处的大小以平方英尺而不是1000平方英尺为单位。这会导致一个问题，您将在下一个实验室中解决！

大小（平方英尺）	卧室数量	楼层数	房龄（年）	价格（1000美元）
2104	5	1	45	460
1416	3	2	40	232
852	2	1	35	178

您将使用这些值构建一个线性回归模型，以便然后可以预测其他房屋的价格。例如，一个面积为1200平方英尺，有3间卧室，1层楼，40年历史的房子。

请运行以下代码单元格以创建您的x_train和y_train变量。

X_train = np.array([[2104, 5, 1, 45], [1416, 3, 2, 40], [852, 2, 1, 35]])
y_train = np.array([460, 232, 178])

2.1 包含我们示例的矩阵 X

与上面的表类似，示例存储在一个 NumPy 矩阵 X_train 中。矩阵的每一行表示一个示例。当您有 $m$ 个训练示例（在我们的示例中为三个）和 $n$ 个特征（在我们的示例中为四个）时，$\mathbf{X}$ 是一个维度为 $(m,n)$ 的矩阵（m 行，n 列）。

$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cccc}{x}_0^{(0)}& x_1^{(0)}& \cdots & x_{n-1}^{(0)}\\ x_0^{(1)}& x_1^{(1)}& \cdots & x_{n-1}^{(1)}\\ \cdots & & & \\ x_0^{(m-1)}& x_1^{(m-1)}& \cdots & x_{n-1}^{(m-1)}\end{array}\right)$

符号说明：

• ${\mathbf{x}}^{(i)}$ 是包含示例 i 的向量。${\mathbf{x}}^{(i)}$$=(x_0^{(i)},x_1^{(i)},\cdots ,x_{n-1}^{(i)})$
• $x_j^{(i)}$ 是示例 $i$ 中的第 $j$ 个元素。括号中的上标表示示例编号，而下标表示元素。

显示输入数据。

# data is stored in numpy array/matrix
print(f"X Shape: {X_train.shape}, X Type:{type(X_train)})")
print(X_train)
print(f"y Shape: {y_train.shape}, y Type:{type(y_train)})")
print(y_train)#print
X Shape: (3, 4), X Type:<class 'numpy.ndarray'>)
[[2104    5    1   45][1416    3    2   40][ 852    2    1   35]]
y Shape: (3,), y Type:<class 'numpy.ndarray'>)
[460 232 178]

2.2 参数向量 $\mathbf{w}$ 和 $b$

• $\mathbf{w}$ 是一个包含 $n$ 个元素的向量。

  • 每个元素包含与一个特征相关联的参数。

  • 在我们的数据集中，$n$ 是 4。

  • 符号上，我们将其绘制为列向量

    $\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\\ \cdots \\ w_{n-1}\end{array}\right)$

• $b$ 是一个标量参数。

b_init = 785.1811367994083
w_init = np.array([ 0.39133535, 18.75376741, -53.36032453, -26.42131618])
print(f"w_init shape: {w_init.shape}, b_init type: {type(b_init)}")#print
w_init shape: (4,), b_init type: <class 'float'>

3 使用多个变量进行模型预测

模型使用多个变量进行预测的线性模型如下所示：

$$f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x})=w_0{x}_0+w_1{x}_1+...+w_{n-1}{x}_{n-1}+b\text{\hspace{1em}(1)}$$

或者使用向量表示：

$$f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x})=\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}+b\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $\cdot$ 表示向量的点乘。

为了演示点乘，我们将使用 (1) 和 (2) 实现预测。

3.1 逐元素单独预测

我们先前的预测是将一个特征值乘以一个参数，然后加上一个偏差参数。对于多个特征的预测，直接扩展我们先前的预测实现是使用循环遍历每个元素，执行乘以其参数的操作，然后在末尾加上偏差参数。

def predict_single_loop(x, w, b): n = x.shape[0] # 得到特征值的个数p = 0for i in range(n):p_i = x[i] * w[i]  p = p + p_i         p = p + b                return p

x_vec = X_train[0,:]
print(f"x_vec shape {x_vec.shape}, x_vec value: {x_vec}")# make a prediction
f_wb = predict_single_loop(x_vec, w_init, b_init)
print(f"f_wb shape {f_wb.shape}, prediction: {f_wb}")#print
x_vec shape (4,), x_vec value: [2104    5    1   45]
f_wb shape (), prediction: 459.9999976194083

• 解释一下：x_vec = X_train[0,:]

  x_vec = X_train[0,:] 这行代码表示从训练数据集 X_train 中提取第一个样本，即第一行，以向量的形式存储在变量 x_vec 中。

x_vec 的形状是 (4,)，表示一个包含 4 个元素的 1-D NumPy 向量。而结果 f_wb 是一个标量。

3.2 单一预测，向量

注意到上述的方程 (1) 可以使用向量点乘来实现，就像 (2) 中那样。我们可以利用向量运算来加速预测。

回想一下在 Python/Numpy 实验中，NumPy 的 np.dot() 函数可以用来执行向量点乘。

def predict(x, w, b): p = np.dot(x, w) + b     return p    

# get a row from our training data
x_vec = X_train[0,:]
print(f"x_vec shape {x_vec.shape}, x_vec value: {x_vec}")# make a prediction
f_wb = predict(x_vec,w_init, b_init)
print(f"f_wb shape {f_wb.shape}, prediction: {f_wb}")#print
x_vec shape (4,), x_vec value: [2104    5    1   45]
f_wb shape (), prediction: 459.9999976194083

结果和形状与之前使用循环的版本相同。在接下来的操作中，将使用 np.dot。预测现在是一个单独的语句。大多数例程将直接实现它，而不是调用单独的预测例程。

4 使用多个变量计算成本

具有多个变量的代价函数的方程为：

$$J(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)}{)}^2\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中：

$$f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})=\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b\text{\hspace{1em}(4)}$$

与之前的实验室不同，$\mathbf{w}$ 和 ${\mathbf{x}}^{(i)}$现在是向量，而不是标量，支持多个特征。

def compute_cost(X, y, w, b): m = X.shape[0] # 样本的个数cost = 0.0for i in range(m):                                f_wb_i = np.dot(X[i], w) + b           #(n,)(n,) = scalar (see np.dot)cost = cost + (f_wb_i - y[i])**2       #scalarcost = cost / (2 * m)                      #scalar    return cost

# Compute and display cost using our pre-chosen optimal parameters. 
cost = compute_cost(X_train, y_train, w_init, b_init)
print(f'Cost at optimal w : {cost}')#print
Cost at optimal w : 1.5578904428966628e-12

5 使用多个变量的梯度下降

多个变量的梯度下降算法如下：

重复 直到收敛: { w j = w j − α ∂ J ( w , b ) ∂ w j 对于 j = 0..n-1 b = b − α ∂ J ( w , b ) ∂ b } \begin{align*} \text{重复}&\text{直到收敛:} \; \lbrace \newline\; & w_j = w_j - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} \tag{5} \; & \text{对于 j = 0..n-1}\newline &b\ \ = b - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} \newline \rbrace \end{align*} 重复}​直到收敛:{wj​=wj​−α∂wj​∂J(w,b)​b  =b−α∂b∂J(w,b)​​对于 j = 0..n-1(5)​

其中，$n$ 是特征数量，参数 $w_j$，$b$ 同时更新，其中

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j}& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\\ \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b}& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)})\end{array}\text{\hspace{1em}(6)(7)}$$

• $m$ 是数据集中的训练示例数量
• $f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})$是模型的预测值，而 $y^{(i)}$ 是目标值

5.1 使用多个变量计算梯度

下面是计算方程（6）和（7）的实现。有许多方法可以实现这个。在这个版本中，有一个

• 外循环遍历所有m个示例。
  • 可以直接计算示例的 $\frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b}$ 并累积
  • 在第二个循环中遍历所有n个特征：
    • 分别为每个 $w_j$ 计算 $\frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j}$。

def compute_gradient(X, y, w, b): m,n = X.shape           #(number of examples, number of features)dj_dw = np.zeros((n,))dj_db = 0.for i in range(m):                             err = (np.dot(X[i], w) + b) - y[i]   for j in range(n):                         dj_dw[j] = dj_dw[j] + err * X[i, j]    dj_db = dj_db + err       dj_dw = dj_dw / m                                dj_db = dj_db / m                                return dj_db, dj_dw

• 解释一下：dj_dw = np.zeros((n,))

  这行代码创建了一个大小为(n,)的全零数组，其中 n 是特征的数量。这个数组用于存储每个特征对应的梯度值，初始时全部为零。

#Compute and display gradient 
tmp_dj_db, tmp_dj_dw = compute_gradient(X_train, y_train, w_init, b_init)
print(f'dj_db at initial w,b: {tmp_dj_db}')
print(f'dj_dw at initial w,b: \n {tmp_dj_dw}')#print
dj_db at initial w,b: -1.6739251501955248e-06
dj_dw at initial w,b: 
[-2.73e-03 -6.27e-06 -2.22e-06 -6.92e-05]

多个变量的梯度下降

下面的例程实现了上面的方程（5）。

def gradient_descent(X, y, w_in, b_in, cost_function, gradient_function, alpha, num_iters): J_history = [] # 用于存储每次迭代后计算得到的代价函数的数值。w = copy.deepcopy(w_in)  #avoid modifying global w within functionb = b_infor i in range(num_iters):# Calculate the gradient and update the parametersdj_db,dj_dw = gradient_function(X, y, w, b)   ##None# Update Parameters using w, b, alpha and gradientw = w - alpha * dj_dw               ##Noneb = b - alpha * dj_db               ##None# Save cost J at each iterationif i<100000:      # prevent resource exhaustion J_history.append( cost_function(X, y, w, b))# Print cost every at intervals 10 times or as many iterations if < 10if i% math.ceil(num_iters / 10) == 0:print(f"Iteration {i:4d}: Cost {J_history[-1]:8.2f}   ")return w, b, J_history #return final w,b and J history for graphing

# initialize parameters
initial_w = np.zeros_like(w_init)
initial_b = 0.# some gradient descent settings
iterations = 1000 # 迭代次数
alpha = 5.0e-7 # 学习率# run gradient descent 
w_final, b_final, J_hist = gradient_descent(X_train, y_train, initial_w, initial_b,compute_cost, compute_gradient, alpha, iterations)print(f"b,w found by gradient descent: {b_final:0.2f},{w_final} ")m,_ = X_train.shapefor i in range(m):print(f"prediction: {np.dot(X_train[i], w_final) + b_final:0.2f}, target value: {y_train[i]}")# print
Iteration    0: Cost  2529.46   
Iteration  100: Cost   695.99   
Iteration  200: Cost   694.92   
Iteration  300: Cost   693.86   
Iteration  400: Cost   692.81   
Iteration  500: Cost   691.77   
Iteration  600: Cost   690.73   
Iteration  700: Cost   689.71   
Iteration  800: Cost   688.70   
Iteration  900: Cost   687.69   
b,w found by gradient descent: -0.00,[ 0.2   0.   -0.01 -0.07] 
prediction: 426.19, target value: 460
prediction: 286.17, target value: 232
prediction: 171.47, target value: 178

# plot cost versus iteration  
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, constrained_layout=True, figsize=(12, 4))
ax1.plot(J_hist)
ax2.plot(100 + np.arange(len(J_hist[100:])), J_hist[100:])
ax1.set_title("Cost vs. iteration");  ax2.set_title("Cost vs. iteration (tail)")
ax1.set_ylabel('Cost')             ;  ax2.set_ylabel('Cost') 
ax1.set_xlabel('iteration step')   ;  ax2.set_xlabel('iteration step') 
plt.show()

• 解释一下：fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, constrained_layout=True, figsize=(12, 4))

  这行代码使用Matplotlib创建了一个具有两个子图的图形对象。让我来解释一下参数：

  • fig: 这是整个图形对象的实例。
  • (ax1, ax2): 这是一个包含两个子图对象的元组，分别称为 ax1 和 ax2。您可以在每个子图上绘制数据。
  • plt.subplots(1, 2, constrained_layout=True, figsize=(12, 4)): 这是一个函数调用，用于创建子图。具体地：
    • 1, 2 表示我们希望创建一个包含1行和2列的子图网格。
    • constrained_layout = True 是一个布尔参数，用于启用自动布局调整，以确保子图之间的间距和相对大小是合理的。
    • figsize=(12, 4) 指定了图形的尺寸，宽度为12英寸，高度为4英寸。

  这行代码将返回一个包含图形对象和子图对象的元组 (fig, (ax1, ax2))。您可以使用 ax1 和 ax2 对象分别绘制两个子图中的数据。

• 解释一下：ax2.plot(100 + np.arange(len(J_hist[100:])), J_hist[100:])

  这行代码使用 ax2 对象绘制损失函数的历史记录，但是仅包含从索引100开始的数据。让我逐步解释：

  • ax2.plot(...): 这是 ax2 对象的 plot 方法，用于绘制图形。
  • 100 + np.arange(len(J_hist[100:])): 这是 x 轴的值。它是从 100 开始的索引值，直到损失函数历史记录的末尾。np.arange(len(J_hist[100:])) 创建一个从 0 开始的索引数组，然后通过添加100来将其偏移。
  • J_hist[100:]: 这是损失函数历史记录的切片，从索引100 开始，一直到末尾。这是 y 轴的值，表示从第100次迭代开始的损失函数值。

小结

在这个实验中：

• 重新开发了多变量线性回归的例程。
• 利用了 NumPy 的 np.dot 来向量化实现。