线路和绕组中的波过程（二）

本篇为本科课程《高电压工程基础》的笔记。

本篇为这一单元的第二篇笔记。上一篇传送门。

行波通过串联电感与旁路并联电容

由于并联电容或串联电感的存在，线路上传播的行波会发生幅值和波形的变化。

直角波通过串联电感

有一个无限长的直角波 $U_{1f}$ ，从一个波阻抗为 $Z_1$ 的导线上传来，经过过渡电感到一个波阻抗为 $Z_2$ 的导线上来，如下图所示。

在这里插入图片描述

假设 $Z_2$ 中反行波还没有到达节点，则其等效的电路图如下所示。

在这里插入图片描述

可根据电路图列出关系式为：
$2u_{1f}=i_{2f}(Z_1+Z_2)+L\frac{\mathrm{d}i_{2f}}{\mathrm{d}t}$
解方程可得解为：
$i_{2f}=\frac{2u_{1f}}{Z_1+Z_2}(1-e^{-\frac{t}{T}})$
其中，T是这个回路的时间常数， $T=\frac{L}{Z_1+Z_2}$

根据电压电流的关系可得：
$u_{2f}=i_{2f}Z_2=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}u_{1f}(1-e^{-\frac{t}{T}})$

可见，前行波都是由两部分组成的：

第一部分是和时间无关的强制分量。
第二部分是随着时间而衰减的自由分量。
还可见，无穷长直角波通过集中的电感时，波头被拉长，而电压电流的稳态值和无电感时候一样。

沿着 $Z_1$ 返回的反射波可列出方程：
$u_{2f}+L\frac{\mathrm{d}i_{2f}}{\mathrm{d}t}=u_{1f}+u_{1b}$

将前行电压、电带波表达式入上式可得：
$u_{1b}=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}u_{1f}+\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}u_{1f}e^{-\frac{t}{T}}\\\\ i_{1b}=-\frac{u_{1b}}{Z_1}=-\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\frac{u_{1f}}{Z_1}-\frac{2}{Z_1+Z_2}u_{1f}e^{-\frac{t}{T}}$

从上面两式可见，当t=0时， $i_{2f}=0,u_{2f}=0,u_{1b}=u_{1f},i_{1b}=-i_{1f}$ ，这是因为电感中的电流不能突变。当波到达电感的时刻，电感相当于开路，全部的磁场能量转换为电场能量，使得电压增大一倍。在这之后，按照指数规律变化。

当 $t\rightarrow\infty$ 时， $i_{2f}=\frac{2u_{1f}}{Z_1+Z_2},u_{2f}=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}u_{1f},u_{1b}=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}u_{1f},i_{1b}=-\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\frac{u_{1f}}{Z_1}$ 。当时间趋于无穷的时候，电感相当于短路，所以就是两个导线的反射和折射作用。

电压和电流反射波随着时间的变化如下图所示：

在这里插入图片描述

折射电压波 $u_{2f}$ 的陡度表达式如下：
$\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}=\frac{2u_{1f}}{L}Z_2e^{-\frac{t}{T}}$
陡度的最大值在t=0处取得：
$\left(\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{max}}=\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}\Big|_{t=0}=\frac{2u_{1f}Z_2}{L}$

在空间上的陡度叫做空间陡度，而最大空间陡度尾：
$\left(\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}l}\right)_{\mathrm{max}}=\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}l}\Big|_{t=0}=\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}\Big|_{t=0}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}l}=\frac{2u_{1f}Z_2}{Lv}$

由上可见，想要降低 $Z_2$ 上的前行电压波 $u_{2f}$ 陡度的有效措施是增加电感L。

直角波旁过并联电容

有一个无限长的直角波 $u_{1f}$ ，旁过电容接线方式如下图所示。

在这里插入图片描述

假设 $Z_2$ 中反行波还没有到达节点A，则其等效的电路图如下所示。

在这里插入图片描述

可根据电路图列出关系式为：
$2u_{1f}=i_1Z_1+i_{2f}Z_2\\\\ i_1=i_{2f}+C\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}=i_{2f}+CZ_2\frac{\mathrm{d}i_{2f}}{\mathrm{d}t}$
其解为：
$i_{2f}=\frac{2u_{1f}}{Z_1+Z_2}(1-e^{-\frac{t}{T}})\\\\ u_{2f}=Z_2i_{2f}=\frac{2Z_2u_{1f}}{Z_1+Z_2}(1-e^{-\frac{t}{T}})=\alpha u_{1f}(1-e^{-\frac{t}{T}})$

其中，T是该电路的时间常数， $T=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}C$ 。 $\alpha$ 是电压波的折射系数。

由上面两式可得， $u_{2f},i_{2f}$ 均从零开始，按照指数规律趋向稳定值。原来的直角波变成指数波，波首变平，且稳态值只和波阻抗 $Z_1,Z_2$ 有关，与电容值C无关。

因为电容的存在，在开始的时候电容两端的电压不能突变，随着充电的进行，电容充满了电，相当于开路，对于导线中的波传播不再起到作用。

因为有 $u_{1f}+u_{1b}=u_{2f}$ ，所以在导线 $Z_1$ 上的反射波计算式为：
$u_{1b}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}u_{1f}-\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}u_{1f}e^{-\frac{t}{T}}\\\\ i_{1b}=-\frac{u_{1b}}{Z_1}=-\frac{Z_2-Z_1u_{1f}}{Z_1+Z_2Z_1}+\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}\frac{u_{1f}}{Z_1}e^{-\frac{t}{T}}$

反射波的电压电流图如下所示：

在这里插入图片描述

当t=0， $u_{1b}=-u_{1f}$ ，因为电容电压不能突变，波到节点A的时刻，全部电场能量转换为磁场能量，相当于末端短路的反射。

在 $Z_2$ 线路中折射电压的最大陡度可由表达式求导可得：
$\left(\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{max}}=\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}\Big|_{t=0}=\frac{2u_{1f}}{Z_1C}$

最大空间陡度为：
$\left(\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}l}\right)_{\mathrm{max}}=\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}l}\Big|_{t=0}=\frac{\mathrm{d}u_{2f}}{\mathrm{d}t}\Big|_{t=0}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}l}=\frac{2u_{1f}}{Z_1Cv}$

可见最大空间陡度与 $Z_2$ 无关，仅与 $Z_1,C$ 有关。

为了限制波的陡度，可以采用串联电感或并联电容，究竟选择哪一种，需要进行经济上的核算。

行波在无损平行多导线系统中的传播

前面分析是针对一根导线的波过程，实际中的输电线路都是由多根平行的导线构成的。比如装有避雷线的三相输电线路就有4根或5根的平行导线。此时波在导线上传播，平行多导线系统中就会发生相互的电磁耦合作用。

仍然是无损导线，传播的是平面电磁波，这就只需引入波速的概念，就可以将静电场中麦克斯韦方程应用于平行多导线系统。

如下图所示就是一个多导线系统以及导线的镜像。

在这里插入图片描述

图中有n根相互平行的导线，他们也和大地平行，各自带有的电荷量分别为： $q_1,q_ 2,q_3,...,q_n$ ，各自的电压大小为： $u_1,u_2,...,u_n$ ，那么就可以写出下面的方程组：

$u_1=\alpha_{11}q_{1}+\alpha_{12}q_{2}+...+\alpha_{1n}q_{1}\\\\ u_2=\alpha_{21}q_{1}+\alpha_{22}q_{2}+...+\alpha_{2n}q_{1}\\\\ ...\\\\ u_n=\alpha_{n1}q_{1}+\alpha_{n2}q_{2}+...+\alpha_{nn}q_{1}$

其中， $\alpha_{kk}$ 是自电位系数， $\alpha_{kj}$ 是互电位系数，他们的值取决于导线的几何尺寸和布置。计算公式如下：

$\alpha_{kk}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0}\ln\frac{2h_k}{r_k}\\\\ \alpha_{kj}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0}\ln\frac{D_{kj}}{d_{kj}}$

其中， $h_k$ 为导线k距离地面的高度， $r_k$ 为导线k的半径， $D_{kj}$ 是导线k和导线j的镜像之间的距离， $d_{kj}$ 是导线k和导线j之间的距离。

如果将电压和电荷的关系式中右边的电荷 $q_k$ 乘上 $v$ 就得到了电路的值 $i_k$ ，即 $q_kv=i_k$ ，而电位系数除以速度就是阻抗的量纲，那么就可以写出下面的公式：

$u_1=z_{11}i_1+z_{12}i_2+...+z_{1n}i_n\\\\ u_2=z_{21}i_1+z_{22}i_2+...+z_{2n}i_n\\\\ ...\\\\ u_n=z_{n1}i_1+z_{n2}i_2+...+z_{nn}i_n$

其中， $z_{kk}$ 是导线k的自波阻抗， $z_{kj}$ 是导线k和导线j间的互波阻抗。对于架空线路有：

$z_{kk}=\frac{\alpha_{kk}}{C}=60\ln\frac{2h_k}{r_k}\\\\ z_{kj}=z_{jk}=\frac{\alpha_{kj}}{C}=60\ln\frac{D_{kj}}{d_{kj}}$

如果一个导线上既存在前行波，也存在反行波，各自都可以列出电压和电流的关系式。那么对于有n根平行导线的系统，每一根导线k都可以列出下面的式子：

$u_k=u_{kf}+u_{kb}\\\\ i_k=i_{kf}+i_{kb}\\\\ u_{kf}=z_{k1}i_{1f}+z_{k2}i_{2f}+...+z_{kn}i_{nf} \\\\ u_{kb}=-(z_{k1}i_{1b}+z_{k2}i_{2b}+...+z_{kn}i_{nb})$

其中， $u_{kf},u_{bf}$ 分别是导线k上的前行电压波和反行电压波， $i_{kf},i_{bf}$ 分别是导线k上的前行电流波和反行电流波。上面的四个方程，前两个说明了前行波和反行波叠加就得到了导线上的波，第三个说明了前行波的电压和电流的关系，第四个说明了反行波的电压和电流的关系，而且此时需要加上负号。

n个导线可以列出n个方程然后求解，根据边界条件可以分析无损平行多导线系统中的波过程。但是多导线之间是存在电磁耦合，所以多导线系统的波过程不能孤立的看成彼此每一联系的单根导线的波过程，他们通常需要借助相模变换来求解。

两导线系统的耦合关系

有一个两导线系统，导线1为避雷线，导线2为对地绝缘的导线，如下图所示。

在这里插入图片描述

有一个雷击中了塔顶，避雷线上就有一个电压波 $u_1$ 传播，对地绝缘的导线2上没有电流流过，但是他又处于导线1的电磁场之内，所以也会产生电压波 $u_2$ 。根据电压和电流的关系可得：

$u_1=z_{11}i_i+z_{12}i_2\\\\ u_2=z_{21}i_i+z_{22}i_2$

因为导线2电流为零，所以有：

$u_2=\frac{z_{21}}{z_{11}}u_1=K_{c12}u_1$

其中， $K_{c12}$ 是导线1对导线2的耦合系数，因为存在关系 $z_{21}<z_{11}$ ，所以耦合系数 $K_{c12}<1$ ，大约为0.2到0.3，这是防雷的重要参数。

如下图所示，导线1对地有电场，而导线2获得了和 $u_1$ 相同极性的对地电压 $u_2$ ，这样就可以计算出导线1和导线2之间的电压差 $\Delta u$ ：

在这里插入图片描述

$\Delta u=u_1-u_2=\left(1-\frac{z_{21}}{z_{11}}\right)u_1=(1-K_{c12})u_1$

上面这个电压也是导线2对地的电压。

分析上式可知，当忽略耦合系数的时候，绝缘子串上承受的电压即 $\Delta u=u_1$ ，如果考虑耦合系数，那么绝缘子串上承受的电压即 $\Delta u=(1-K_{c12})u_1$ 。可见耦合系数越大，电压差越小，越有利于防雷和绝缘子串的安全运行。在有些多雷地区，有时候会在导线下面假设耦合地线，以增大耦合系数。

线路杆塔的耦合系数

如下图所示是一个220kV线路杆塔。输电线路架设两根避雷线，他们之间通过金属塔杆相连接。

在这里插入图片描述

根据电压和电流的关系式，可得导线1、2、3之间的关系：

$u_1=z_{11}i_1+z_{12}i_2+z_{13}i_3\\\\ u_2=z_{21}i_1+z_{22}i_2+z_{23}i_3\\\\ u_3=z_{31}i_1+z_{32}i_2+z_{33}i_3$

因为两根避雷线的离地高度和半径完全相等，是完全对称的，所以有 $z_{11}=z_{22},z_{12}=z_{21},z_{13}=z_{31},z_{23}=z_{32},i_1=i_2$ 。

导线3是绝缘的，其上是无电流， $i_3=0$ ，且避雷线上的电压 $u_1=u_2=u$ ，所以有：

$u_1=z_{11}i_1+z_{12}i_2\\\\ u_2=z_{21}i_1+z_{22}i_2\\\\ u_3=z_{31}i_1+z_{32}i_2$

然后得到导线3的电压表达式：

$u_3=\frac{z_{13}+z_{23}}{z_{11}+z_{12}}u=K_{c1,2-3}u$

其中， $K_{c1,2-3}$ 是避雷线1，2对导线3的耦合系数，且 $K_{c1,2-3}=\frac{z_{13}+z_{23}}{z_{11}+z_{12}}=\frac{z_{13}/z_{11}+z_{23}/z_{11}}{z_{11}/z_{11}+z_{12}/z_{11}}=\frac{K_{c13}+K_{c23}}{1+K_{c12}}$ ，而 $K_{c13},K_{c23},K_{c12}$ 分别是导线1-3，2-3，1-2之间的耦合系数。