单指针优化的不相交集合：Gompers教授猜想的实现与分析

引言
1. Gompers教授的猜想
- 2. 单指针表示的数据结构
- C语言实现
- 3. MAKE-SET 操作
- 伪代码
- C语言实现
4. FIND-SET 操作
- 伪代码
- C语言实现
5. UNION 操作
- 伪代码
- C语言实现
6. 加权合并启发式策略
7. 效果与分析
8. 结论

引言

在不相交集合的数据结构中，每个集合通常由链表表示，其中每个链表的头节点(head)和尾节点(tail)分别用于快速定位集合的开始和结束。然而，Gompers教授提出了一个有趣的猜想，即有可能仅使用一个指针来代表每个集合，同时保持每个链表元素的两个指针。本文将探讨这一猜想的可行性，并展示如何通过单指针优化来实现不相交集合的操作，同时保持与原始方法相同的运行时间。
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1. Gompers教授的猜想

Gompers教授的猜想基于一个观察：在不相交集合的链表表示中，集合的代表可以是链表中的任何元素。因此，我们可以使用链表的尾节点作为集合的代表，因为无论何时访问集合，我们最终都会到达链表的尾节点。

2. 单指针表示的数据结构

为了实现单指针表示，我们定义以下数据结构：

C语言实现

typedef struct Element {int data;struct Element *next;// 指针指向链表中前一个元素，用于快速访问链表的尾节点struct Element *prev;
} Element;typedef struct DisjointSet {Element *representative;
} DisjointSet;

3. MAKE-SET 操作

MAKE-SET操作创建一个新集合，其中只包含一个元素。

伪代码

MAKE-SET(x)
1. 创建新元素 element 并设置其 data 为 x
2. element 的 next 指针指向自己
3. element 的 prev 指针指向自己
4. 创建新集合 djSet
5. djSet 的 representative 设置为 element

C语言实现

void makeSet(int x, DisjointSet *djSet) {Element *element = (Element *)malloc(sizeof(Element));element->data = x;element->next = element;element->prev = element;djSet->representative = element;
}

4. FIND-SET 操作

FIND-SET操作返回包含给定元素x的集合的代表。

伪代码

FIND-SET(x)
1. 从 x 开始遍历链表直到到达代表元素
2. 返回代表元素的 data

C语言实现

int findSet(Element *x) {while (x->prev != x) {x = x->prev;}return x->data;
}

5. UNION 操作

UNION操作合并两个集合。

伪代码

UNION(x, y)
1. xRoot 是 FIND-SET(x) 的结果
2. yRoot 是 FIND-SET(y) 的结果
3. 如果 xRoot 不等于 yRoota. 确定 xRoot 和 yRoot 中哪个是代表元素b. 将非代表元素的链表链接到代表元素的链表后面c. 更新非代表集合的 representative 为代表元素

C语言实现

void unionSets(DisjointSet *djSetX, DisjointSet *djSetY) {Element *xRoot = findSet(djSetX->representative);Element *yRoot = findSet(djSetY->representative);if (xRoot != yRoot) {// 确定哪个是代表元素Element *representative = (xRoot->prev == xRoot) ? yRoot : xRoot;Element *nonRepresentative = (representative == xRoot) ? yRoot : xRoot;// 链接链表nonRepresentative->prev->next = representative;representative->prev = nonRepresentative->prev;// 更新 representative 指针djSetX->representative = representative;djSetY->representative = representative;}
}