预积分的推导2

预积分的推导2

    • 6.零偏的更新
    • 7.预积分更新

6.零偏的更新

IMU噪声的推导是假定零偏固定不变,在面对实际过程中,对于零偏的处理有一个技巧:假定零偏的变化是线性的,保留其一阶项。在原先的基础上进行修正。

数学模型并不一定是和真实世界完全对应的。有时,数学模型是对真实世界的一种简化,便于后续的算法计算。

对预积分的观测进行修正,将观测视为 b g , i b_{g,i} bg,i b a , i b_{a,i} ba,i 的函数
Δ R ~ i j ( b g , i + δ b g , i ) = Δ R ~ i j ( b g , i ) Exp ( ∂ Δ R ~ i j ∂ b g , i δ b g , i ) Δ v ~ i j ( b g , i + δ b g , i , b a , i + δ b a , i ) = Δ v ~ i j ( b g , i , b a , i ) + ∂ Δ v ~ i j ∂ b g , i δ b g , i + ∂ Δ v ~ i j ∂ b a , i δ b a , i Δ p ~ i j ( b g , i + δ b g , i , b a , i + δ b a , i ) = Δ p ~ i j ( b g , i , b a , i ) + ∂ Δ p ~ i j ∂ b g , i δ b g , i + ∂ Δ p ~ i j ∂ b a , i δ b a , i (6.1) \begin{aligned} \Delta\tilde R_{ij}(b_{g,i}+\delta b_{g,i}) &= \Delta\tilde R_{ij}(b_{g,i})~\text{Exp}\left(\frac{\partial \Delta\tilde R_{ij}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i}\right) \\ \Delta\tilde v_{ij}(b_{g,i}+\delta b_{g,i},b_{a,i}+\delta b_{a,i}) &= \Delta\tilde v_{ij}(b_{g,i},b_{a,i})+\frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i} +\frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{a,i}}\delta b_{a,i} \\ \Delta\tilde p_{ij}(b_{g,i}+\delta b_{g,i},b_{a,i}+\delta b_{a,i}) &= \Delta\tilde p_{ij}(b_{g,i},b_{a,i})+\frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i} +\frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{a,i}}\delta b_{a,i} \end{aligned}\tag{6.1} ΔR~ij(bg,i+δbg,i)Δv~ij(bg,i+δbg,i,ba,i+δba,i)Δp~ij(bg,i+δbg,i,ba,i+δba,i)=ΔR~ij(bg,i) Exp(bg,iΔR~ijδbg,i)=Δv~ij(bg,i,ba,i)+bg,iΔv~ijδbg,i+ba,iΔv~ijδba,i=Δp~ij(bg,i,ba,i)+bg,iΔp~ijδbg,i+ba,iΔp~ijδba,i(6.1)

旋转观测
Δ R ~ i j ( b g , i + δ b g , i ) = ∏ k = i j − 1 Exp ( ( ω ~ k − ( b g , i + δ b g , i ) Δ t ) = ∏ k = i j − 1 Exp ( ( ω ~ k − b g , i ) Δ t ) Exp ( − J r , k δ b g , i Δ t ) = Exp ( ( ω ~ i − b g , i ) Δ t ) ⏟ Δ R ~ i , i + 1 Exp ( − J r , i δ b g , i Δ t ) Exp ( ( ω ~ i + 1 − b g , i ) Δ t ) ⏟ Δ R ~ i + 1 , i + 2 Exp ( − J r , i + 1 δ b g , i Δ t ) ⋯ ⋯ = Δ R ~ i j ∏ k = i j − 1 Exp ( − Δ R ~ k + 1 , j T J r , k δ b g , i Δ t ) ≈ Δ R ~ i j Exp ( ∑ k = i j − 1 − Δ R ~ k + 1 , j T J r , k Δ t δ b g , i ) (6.2) \begin{aligned} \Delta\tilde R_{ij}(b_{g,i}+\delta b_{g,i}) &= \prod_{k=i}^{j-1}\text{Exp}((\tilde\omega_k-(b_{g,i}+\delta b_{g,i})\Delta t) \\ &=\prod_{k=i}^{j-1}\text{Exp}((\tilde\omega_k-b_{g,i})\Delta t)\text{Exp}(-J_{r,k}\delta b_{g,i}\Delta t) \\ &=\underbrace{\text{Exp}((\tilde\omega_i-b_{g,i})\Delta t)}_{\Delta\tilde R_{i,i+1}}\text{Exp}(-J_{r,i}\delta b_{g,i}\Delta t)\underbrace{\text{Exp}((\tilde\omega_{i+1}-b_{g,i})\Delta t)}_{\Delta\tilde R_{i+1,i+2}}\text{Exp}(-J_{r,i+1}\delta b_{g,i}\Delta t)\cdots \\ &\cdots \\ &=\Delta\tilde R_{ij}\prod_{k=i}^{j-1}\text{Exp}(-\Delta\tilde R_{k+1,j}^TJ_{r,k}\delta b_{g,i}\Delta t) \\ &\approx \Delta\tilde R_{ij}\text{Exp}\left(\sum_{k=i}^{j-1}-\Delta\tilde R_{k+1,j}^TJ_{r,k}\Delta t~\delta b_{g,i}\right) \end{aligned}\tag{6.2} ΔR~ij(bg,i+δbg,i)=k=ij1Exp((ω~k(bg,i+δbg,i)Δt)=k=ij1Exp((ω~kbg,i)Δt)Exp(Jr,kδbg,iΔt)=ΔR~i,i+1 Exp((ω~ibg,i)Δt)Exp(Jr,iδbg,iΔt)ΔR~i+1,i+2 Exp((ω~i+1bg,i)Δt)Exp(Jr,i+1δbg,iΔt)=ΔR~ijk=ij1Exp(ΔR~k+1,jTJr,kδbg,iΔt)ΔR~ijExp(k=ij1ΔR~k+1,jTJr,kΔt δbg,i)(6.2)

根据式子(6.1)中的旋转部分,显然
∂ Δ R ~ i j ∂ b g , i = − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ k + 1 , j T J r , k Δ t (6.3) \frac{\partial \Delta\tilde R_{ij}}{\partial b_{g,i}}=-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{k+1,j}^TJ_{r,k}\Delta t\tag{6.3} bg,iΔR~ij=k=ij1ΔR~k+1,jTJr,kΔt(6.3)

速度观测
Δ v ~ i j ( b i + δ b i ) = ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k ( b g , i + δ b g , i ) ( a ~ k − b a , i − δ b a , i ) Δ t = ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k Exp ( ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i δ b g , i ) ( a ~ k − b a , i − δ b a , i ) Δ t ≈ ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k ( I + ( ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i δ b g , i ) ∧ ) ( a ~ k − b a , i − δ b a , i ) Δ t ≈ ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k ( a ~ k − b a , i ) Δ t − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k δ b a , i Δ t + ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k ( ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i δ b g , i ) ∧ ( a ~ k − b a , i ) Δ t = Δ v ~ i j − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k Δ t δ b a , i − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k ( a ~ k − b a , i ) ∧ ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i Δ t δ b g , i = Δ v ~ i j + ∂ Δ v ~ i j ∂ b a , i δ b a , i + ∂ Δ v ~ i j ∂ b g , i δ b g , i (6.4) \begin{aligned} \Delta \tilde{v}_{ij}(b_i+\delta b_i)&=\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}(b_{g,i}+\delta b_{g,i})(\tilde{a}_k-b_{a,i}-\delta b_{a,i})\Delta t \\ &=\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}\text{Exp}\left(\frac{\partial \Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i}\right)(\tilde{a}_k-b_{a,i}-\delta b_{a,i})\Delta t \\ &\approx\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}\left(I+\left(\frac{\partial \Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i}\right)^\wedge\right)(\tilde{a}_k-b_{a,i}-\delta b_{a,i})\Delta t \\ &\approx\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}(\tilde{a}_k-b_{a,i})\Delta t -\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}\delta b_{a,i}\Delta t+\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}\left(\frac{\partial \Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i}\right)^\wedge(\tilde{a}_k-b_{a,i})\Delta t \\ &=\Delta\tilde v_{ij}-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}\Delta t~\delta b_{a,i}-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}(\tilde{a}_k-b_{a,i})^\wedge\frac{\partial \Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\Delta t~\delta b_{g,i} \\ &=\Delta\tilde v_{ij} +\frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{a,i}}\delta b_{a,i}+\frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i} \end{aligned}\tag{6.4} Δv~ij(bi+δbi)=k=ij1ΔR~ik(bg,i+δbg,i)(a~kba,iδba,i)Δt=k=ij1ΔR~ikExp(bg,iΔR~ikδbg,i)(a~kba,iδba,i)Δtk=ij1ΔR~ik(I+(bg,iΔR~ikδbg,i))(a~kba,iδba,i)Δtk=ij1ΔR~ik(a~kba,i)Δtk=ij1ΔR~ikδba,iΔt+k=ij1ΔR~ik(bg,iΔR~ikδbg,i)(a~kba,i)Δt=Δv~ijk=ij1ΔR~ikΔt δba,ik=ij1ΔR~ik(a~kba,i)bg,iΔR~ikΔt δbg,i=Δv~ij+ba,iΔv~ijδba,i+bg,iΔv~ijδbg,i(6.4)

平移观测
Δ p ~ i j ( b i + δ b i ) = ∑ k = i j − 1 [ Δ v ~ i k ( b a , i + δ b a , i , b g , i + δ b g , i ) Δ t + 1 2 Δ R ~ i k ( b g , i + δ b g , i ) ( a ~ k − b a , i − δ b a , i ) Δ t 2 ] ≈ ∑ k = i j − 1 [ ( Δ v ~ i k + ∂ Δ v ~ i k ∂ b a , i δ b a , i + ∂ Δ v ~ i k ∂ b g , i δ b g , i ) Δ t + 1 2 Δ R ~ i k ( I + ( ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i δ b g , i ) ∧ ) ( a ~ k − b a , i − δ b a , i ) Δ t 2 ] ≈ Δ p ~ i j + ∑ k = i j − 1 [ ∂ v ~ i k ∂ b a , i Δ t − 1 2 Δ R ~ i k Δ t 2 ] δ b a , i + ∑ k = i j − 1 [ ∂ v ~ i k ∂ b g , i Δ t − 1 2 Δ R ~ i k ( a ~ k − b a , i ) ∧ ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i Δ t 2 ] δ b g , i = Δ p ~ i j + ∂ Δ p ~ i j ∂ b a , i δ b a , i + ∂ Δ p ~ i j ∂ b g , i δ b g , i (6.5) \begin{aligned} \Delta \tilde p_{ij}(b_i+\delta b_i)=&\sum_{k=i}^{j-1}\left[\Delta\tilde v_{ik}(b_{a,i}+\delta b_{a,i},b_{g,i}+\delta b_{g,i})\Delta t+\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{ik}(b_{g,i}+\delta b_{g,i})(\tilde a_k-b_{a,i}-\delta b_{a,i})\Delta t^2\right] \\ \approx&\sum_{k=i}^{j-1}\left[\left(\Delta\tilde v_{ik} +\frac{\partial \Delta\tilde v_{ik}}{\partial b_{a,i}}\delta b_{a,i}+\frac{\partial \Delta\tilde v_{ik}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i}\right)\Delta t + \frac{1}{2}\Delta\tilde R_{ik}\left(I+\left(\frac{\partial \Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i}\right)^\wedge\right)(\tilde a_k-b_{a,i}-\delta b_{a,i})\Delta t^2\right] \\ \approx&\Delta\tilde p_{ij}+\sum_{k=i}^{j-1}\left[\frac{\partial\tilde v_{ik}}{\partial b_{a,i}}\Delta t-\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{ik}\Delta t^2\right]\delta b_{a,i}+\sum_{k=i}^{j-1}\left[\frac{\partial\tilde v_{ik}}{\partial b_{g,i}}\Delta t-\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{ik}(\tilde a_k-b_{a,i})^\wedge\frac{\partial\Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\Delta t^2\right]\delta b_{g,i} \\ =&\Delta\tilde p_{ij}+\frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{a,i}}\delta b_{a,i}+\frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{g,i}}\delta b_{g,i} \end{aligned}\tag{6.5} Δp~ij(bi+δbi)==k=ij1[Δv~ik(ba,i+δba,i,bg,i+δbg,i)Δt+21ΔR~ik(bg,i+δbg,i)(a~kba,iδba,i)Δt2]k=ij1[(Δv~ik+ba,iΔv~ikδba,i+bg,iΔv~ikδbg,i)Δt+21ΔR~ik(I+(bg,iΔR~ikδbg,i))(a~kba,iδba,i)Δt2]Δp~ij+k=ij1[ba,iv~ikΔt21ΔR~ikΔt2]δba,i+k=ij1[bg,iv~ikΔt21ΔR~ik(a~kba,i)bg,iΔR~ikΔt2]δbg,iΔp~ij+ba,iΔp~ijδba,i+bg,iΔp~ijδbg,i(6.5)

将雅可比矩阵汇总,有
∂ Δ R ~ i j ∂ b g , i = − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ k + 1 , j T J r , k Δ t ∂ Δ v ~ i j ∂ b a , i = − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k Δ t ∂ Δ v ~ i j ∂ b g , i = − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ i k ( a ~ k − b a , i ) ∧ ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i Δ t ∂ Δ p ~ i j ∂ b a , i = ∑ k = i j − 1 [ ∂ v ~ i k ∂ b a , i Δ t − 1 2 Δ R ~ i k Δ t 2 ] ∂ Δ p ~ i j ∂ b g , i = ∑ k = i j − 1 [ ∂ v ~ i k ∂ b g , i Δ t − 1 2 Δ R ~ i k ( a ~ k − b a , i ) ∧ ∂ Δ R ~ i k ∂ b g , i Δ t 2 ] (6.6) \begin{aligned} \frac{\partial \Delta\tilde R_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{k+1,j}^TJ_{r,k}\Delta t \\ \frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{a,i}}&=-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}\Delta t \\ \frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{ik}(\tilde{a}_k-b_{a,i})^\wedge\frac{\partial \Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\Delta t \\ \frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{a,i}}&=\sum_{k=i}^{j-1}\left[\frac{\partial\tilde v_{ik}}{\partial b_{a,i}}\Delta t-\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{ik}\Delta t^2\right] \\ \frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=\sum_{k=i}^{j-1}\left[\frac{\partial\tilde v_{ik}}{\partial b_{g,i}}\Delta t-\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{ik}(\tilde a_k-b_{a,i})^\wedge\frac{\partial\Delta\tilde R_{ik}}{\partial b_{g,i}}\Delta t^2\right] \end{aligned}\tag{6.6} bg,iΔR~ijba,iΔv~ijbg,iΔv~ijba,iΔp~ijbg,iΔp~ij=k=ij1ΔR~k+1,jTJr,kΔt=k=ij1ΔR~ikΔt=k=ij1ΔR~ik(a~kba,i)bg,iΔR~ikΔt=k=ij1[ba,iv~ikΔt21ΔR~ikΔt2]=k=ij1[bg,iv~ikΔt21ΔR~ik(a~kba,i)bg,iΔR~ikΔt2](6.6)

为了方便计算,将(6.6)中的旋转零偏雅可比化为递推形式
∂ Δ R ~ i j ∂ b g , i = − ∑ k = i j − 1 Δ R ~ k + 1 , j T J r , k Δ t = − ∑ k = i j − 2 Δ R ~ k + 1 , j T J r , k Δ t − Δ R ~ j , j T J r , j − 1 Δ t = − Δ R ~ j − 1 , j T ∑ k = i j − 2 Δ R ~ k + 1 , j − 1 T J r , k Δ t − J r , j − 1 Δ t = Δ R ~ j − 1 , j T ∂ Δ R ~ i , j − 1 ∂ b g , i − J r , j − 1 Δ t \begin{aligned} \frac{\partial \Delta\tilde R_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=-\sum_{k=i}^{j-1}\Delta\tilde R_{k+1,j}^TJ_{r,k}\Delta t\\ &=-\sum_{k=i}^{j-2}\Delta\tilde R_{k+1,j}^TJ_{r,k}\Delta t -\Delta\tilde R_{j,j}^TJ_{r,j-1}\Delta t \\ &=-\Delta\tilde R_{j-1,j}^T\sum_{k=i}^{j-2}\Delta\tilde R_{k+1,j-1}^TJ_{r,k}\Delta t -J_{r,j-1}\Delta t \\ &=\Delta\tilde R_{j-1,j}^T\frac{\partial \Delta\tilde R_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}-J_{r,j-1}\Delta t \\ \end{aligned} bg,iΔR~ij=k=ij1ΔR~k+1,jTJr,kΔt=k=ij2ΔR~k+1,jTJr,kΔtΔR~j,jTJr,j1Δt=ΔR~j1,jTk=ij2ΔR~k+1,j1TJr,kΔtJr,j1Δt=ΔR~j1,jTbg,iΔR~i,j1Jr,j1Δt

同理,对公式(6.6)整理为递推形式
∂ Δ R ~ i j ∂ b g , i = Δ R ~ j − 1 , j T ∂ Δ R ~ i , j − 1 ∂ b g , i − J r , j − 1 Δ t ∂ Δ v ~ i j ∂ b a , i = ∂ Δ v ~ i , j − 1 ∂ b a , i − Δ R ~ i , j − 1 Δ t ∂ Δ v ~ i j ∂ b g , i = ∂ Δ v ~ i , j − 1 ∂ b g , i − Δ R ~ i , j − 1 ( a ~ j − 1 − b a , i ) ∧ ∂ Δ R ~ i , j − 1 ∂ b g , i Δ t ∂ Δ p ~ i j ∂ b a , i = ∂ Δ p ~ i , j − 1 ∂ b a , i + ∂ v ~ i , j − 1 ∂ b a , i Δ t − 1 2 Δ R ~ i , j − 1 Δ t 2 ∂ Δ p ~ i j ∂ b g , i = ∂ Δ p ~ i , j − 1 ∂ b g , i + ∂ v ~ i , j − 1 ∂ b g , i Δ t − 1 2 Δ R ~ i , j − 1 ( a ~ j − 1 − b a , i ) ∧ ∂ Δ R ~ i , j − 1 ∂ b g , i Δ t 2 (6.7) \begin{aligned} \frac{\partial \Delta\tilde R_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=\Delta\tilde R_{j-1,j}^T\frac{\partial \Delta\tilde R_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}-J_{r,j-1}\Delta t\\ \frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{a,i}}&=\frac{\partial \Delta\tilde v_{i,j-1}}{\partial b_{a,i}}-\Delta\tilde R_{i,j-1}\Delta t \\ \frac{\partial \Delta\tilde v_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=\frac{\partial \Delta\tilde v_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}-\Delta\tilde R_{i,j-1}(\tilde{a}_{j-1}-b_{a,i})^\wedge\frac{\partial \Delta\tilde R_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}\Delta t \\ \frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{a,i}}&=\frac{\partial \Delta\tilde p_{i,j-1}}{\partial b_{a,i}}+\frac{\partial\tilde v_{i,j-1}}{\partial b_{a,i}}\Delta t-\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{i,j-1}\Delta t^2 \\ \frac{\partial \Delta\tilde p_{ij}}{\partial b_{g,i}}&=\frac{\partial \Delta\tilde p_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}+\frac{\partial\tilde v_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}\Delta t-\frac{1}{2}\Delta\tilde R_{i,j-1}(\tilde a_{j-1}-b_{a,i})^\wedge\frac{\partial\Delta\tilde R_{i,j-1}}{\partial b_{g,i}}\Delta t^2 \end{aligned}\tag{6.7} bg,iΔR~ijba,iΔv~ijbg,iΔv~ijba,iΔp~ijbg,iΔp~ij=ΔR~j1,jTbg,iΔR~i,j1Jr,j1Δt=ba,iΔv~i,j1ΔR~i,j1Δt=bg,iΔv~i,j1ΔR~i,j1(a~j1ba,i)bg,iΔR~i,j1Δt=ba,iΔp~i,j1+ba,iv~i,j1Δt21ΔR~i,j1Δt2=bg,iΔp~i,j1+bg,iv~i,j1Δt21ΔR~i,j1(a~j1ba,i)bg,iΔR~i,j1Δt2(6.7)


7.预积分更新

每个时刻的状态为 [ R , p , v , b a , b g ] [R,p,v,b_a,b_g] [R,p,v,ba,bg]
通过定义残差的不同,对应的雅可比也有所不同。下面给出原论文中的做法
r Δ R i j = Log ( Δ R ~ i j T ( R i T R j ) ) r Δ v i j = R i T ( v j − v i − g Δ t i j ) − Δ v ~ i j r Δ p i j = R i T ( p j − p i − v i Δ t i j − 1 2 g Δ t i j 2 ) − Δ p ~ i j (7.1) \begin{aligned} r_{\Delta R_{ij}}&=\text{Log}\left(\Delta\tilde R_{ij}^T(R_i^TR_j)\right) \\ r_{\Delta v_{ij}}&=R_i^T(v_j-v_i-g\Delta t_{ij})-\Delta\tilde v_{ij} \\ r_{\Delta p_{ij}}&=R_i^T(p_j-p_i-v_i\Delta t_{ij}-\frac{1}{2}g\Delta t_{ij}^2)-\Delta\tilde p_{ij} \end{aligned}\tag{7.1} rΔRijrΔvijrΔpij=Log(ΔR~ijT(RiTRj))=RiT(vjvigΔtij)Δv~ij=RiT(pjpiviΔtij21gΔtij2)Δp~ij(7.1)

扰动模型的雅可比简单于导数模型,根据符号的统一,选择右扰动

KaTeX parse error: Expected '\right', got '&' at position 24: …ligned} \left[1&̲1\\ &2\\ &3\rig…

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目录 一、信号捕捉函数 1、signal函数 2、sigaction函数 二、用户态与内核态 1、用户态 2、内核态 用户态与内核态转换 三、volatile关键字 四、SIGCHLD信号 一、信号捕捉函数 1、signal函数 signal函数是C语言标准库中的一个函数,用于处理Unix/Linux系…

Ps 滤镜:其它

Ps菜单:滤镜/其它 Filter/others “其它”子菜单中的滤镜允许创建自己的滤镜、使用滤镜修改蒙版、在图像中使选区发生位移和快速调整颜色。 HSB/HSL HSB/HSL 主要用于实现 RGB、HSB 及 HSL 三种模型的相互转换。 比如,当执行本滤镜从 RGB 转换为 HSB 之后…

国内不同领域对应的AI简谈

AI的普及极大方便了我们的学习和生活,当然,我们很多时候仍找不到适合自己需求的AI工具,那我们便盘点一下国内直接访问的各个领域的AI工具: AI写作辅助 秘塔写作猫说明:秘塔写作猫是一款AI写作工具&#xff0c…

YOLOv8网络结构介绍

将按照YOLOv8目标检测任务、实例分割任务、关键点检测任务以及旋转目标检测任务的顺序来介绍,主要内容也是在目标检测任务中介绍,其他任务也只是Head层不相同。 1.YOLOv8_det网络结构 首先,YOLOv8网络分成了三部分,分别是主干网络…

接口信息解析

在进行浏览器网站的接口测试时,需要解析以下关键信息以确保接口的正确性和性能: 1. 接口地址(URL): 接口的地址是测试的基础,包括接口的协议(如 HTTP 或 HTTPS)、主机名、端口&…

leetcode 2105. 给植物浇水 II

2105. 给植物浇水 II 题目描述 Alice 和 Bob 打算给花园里的 n 株植物浇水。植物排成一行,从左到右进行标记,编号从 0 到 n - 1 。每一株植物都需要浇特定量的水。Alice 和 Bob 每人有一个水罐,最初是满的。他们按照以下描述的方式完成浇水…

自动控制原理学习--平衡小车的控制算法(三)

上一节PID的simulin仿真,这一节用LQR 一、模型 二、LQR LQR属于现代控制理论的一个很重要的点,这里推荐B站的【Advanced控制理论】课程(up主DR_CAN),讲得很好,这里引用了他视频里讲LQR的ppt。 LQR属于lo…

(三)小程序样式和组件

视频链接:尚硅谷2024最新版微信小程序 文章目录 小程序的样式和组件介绍样式-尺寸单位 rpx样式-全局样式和局部样式组件-组件案例演示组件案例-轮播图区域绘制组件案例-轮播图图片添加组件案例-绘制公司信息区域组件案例-商品导航区域组件案例-跳转到商品列表组件案…