第八讲：行星际轨道设计

引言

行星际轨道设计是探索太阳系的核心技术，它涉及如何规划和优化航天器从一个天体到另一个天体的飞行路径。随着人类探索太阳系的雄心不断扩大，从最初的月球探测到火星探测，再到更遥远的外太阳系探测，行星际轨道设计技术也在不断发展和完善。本讲将带领大家深入理解行星际轨道设计的基本原理、关键技术和前沿方法。

行星际轨道与近地轨道有着本质的区别。近地轨道主要考虑地球引力场，而行星际轨道则需要考虑太阳引力场、目标行星引力场以及其他天体的引力干扰。此外，由于行星际距离遥远，推进剂的限制成为设计行星际轨道的关键约束条件，这促使科学家和工程师发展出一系列创新的节能技术，如霍曼转移轨道、引力助推和低能量轨道等。

在本讲中，我们将首先介绍行星际转移轨道的基础知识，包括太阳系动力学环境、霍曼转移和双曲线逃逸轨道；然后深入探讨引力助推这一革命性技术，它如何利用行星引力场来改变航天器轨道；接着讨论深空机动的原理和策略；最后展望现代行星际轨道设计的趋势与挑战。通过本讲的学习，你将能够理解人类如何克服巨大的太阳系尺度挑战，实现星际间的高效飞行。

1. 行星际转移轨道基础

在前面几讲中，我们主要关注地球卫星轨道的设计与分析。随着人类探索宇宙的步伐不断扩大，我们的视野已经扩展到整个太阳系。行星际飞行是人类探索太阳系的重要手段，而行星际轨道设计则是实现这一目标的关键技术。本讲将带领大家逐步理解行星际轨道设计的基本原理、核心技术和前沿方法。

1.1 太阳系动力学环境

在研究行星际轨道之前，我们需要先了解太阳系的动力学环境。太阳系是一个以太阳为中心，由八大行星、矮行星、卫星、小行星和彗星等天体组成的庞大系统。在这个系统中，太阳占据了绝大部分质量（约占整个太阳系质量的99.86%），因此在研究行星际飞行时，我们通常首先考虑太阳引力场的影响。

太阳系中的行星绕太阳运行的轨道近似为椭圆，遵循开普勒三定律：

1. 行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
2. 行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
3. 行星绕太阳运行的周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比

这些定律是我们设计行星际轨道的基础。在实际的轨道设计中，我们通常以太阳为中心建立日心惯性坐标系，使用轨道六要素来描述航天器在太阳系中的运动。太阳系内各行星的轨道根数如下表所示：

行星	半长轴(AU)	偏心率	轨道倾角(°)	升交点赤经(°)	近日点幅角(°)	轨道周期(年)
水星	0.387	0.206	7.00	48.33	77.46	0.241
金星	0.723	0.007	3.39	76.68	131.53	0.615
地球	1.000	0.017	0.00	-	102.94	1.000
火星	1.524	0.093	1.85	49.57	336.04	1.881
木星	5.203	0.048	1.31	100.56	14.75	11.86
土星	9.537	0.054	2.49	113.71	92.43	29.46
天王星	19.191	0.047	0.77	74.22	170.96	84.01
海王星	30.069	0.009	1.77	131.72	44.97	164.79

在行星际轨道设计中，我们需要充分考虑这些行星的运动特性，以便选择合适的发射窗口和飞行路径。

1.2 霍曼转移轨道

霍曼转移轨道是行星际转移中最基本、也是能量最优的椭圆转移轨道。1925年，德国工程师瓦尔特·霍曼（Walter Hohmann）首次提出了这一概念，因此以他的名字命名。霍曼转移轨道的基本原理是：将起始行星和目标行星的轨道近似为共面圆轨道，然后设计一个半长轴等于两个行星轨道半径平均值的椭圆轨道，使其与起始行星轨道和目标行星轨道相切。

具体来说，假设起始行星轨道半径为$r_1$，目标行星轨道半径为$r_2$（$r_2>r_1$），则霍曼转移轨道的半长轴为：

$$a=\frac{r_1+r_2}{2}$$

霍曼转移轨道的偏心率为：

$$e=\frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}$$

霍曼转移轨道的周期为：

$$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{{\mu }_{\odot }}}$$

其中，${\mu }_{\odot }=1.327\times 10^{20}{m}^3/s^2$是太阳的引力常数。

霍曼转移轨道需要进行两次主要的速度变化：一次是在起始行星轨道上实施第一次速度增量$\Delta v_1$，将航天器送入霍曼转移轨道；另一次是在到达目标行星轨道时实施第二次速度增量$\Delta v_2$，使航天器进入目标行星轨道。

第一次速度增量的大小为：

$$\Delta v_1=\sqrt{\frac{{\mu }_{\odot }}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)$$

第二次速度增量的大小为：

$$\Delta v_2=\sqrt{\frac{{\mu }_{\odot }}{r_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right)$$

总速度增量为：

$$\Delta v_{total}=|\Delta v_1|+|\Delta v_2|$$

实际上，霍曼转移轨道的飞行时间为半个周期，即：

$$t_{flight}=\pi \sqrt{\frac{a^3}{{\mu }_{\odot }}}$$

以地火转移为例，地球轨道半径约为1天文单位（AU），火星轨道半径约为1.524 AU。使用霍曼转移轨道，半长轴$a=(1+1.524)/2=1.262\text{ AU}$，飞行时间约为259天。

值得注意的是，霍曼转移轨道虽然能量最优，但飞行时间相对较长。在实际任务中，我们常常需要权衡能量消耗和飞行时间，有时会选择非霍曼转移轨道以缩短飞行时间。

1.3 双曲线逃逸轨道

当航天器需要离开一个行星的引力场进入行星际空间时，必须达到或超过该行星的逃逸速度。逃逸速度是指物体摆脱天体引力束缚所需的最小初始速度，对于距离行星中心为$r$的位置，逃逸速度为：

$$v_{esc}=\sqrt{\frac{2\mu }{r}}$$

其中，$\mu$是行星的引力常数。例如，地球表面的逃逸速度约为11.2 km/s。

当航天器速度超过逃逸速度时，其相对于行星的轨道将成为双曲线轨道。双曲线轨道是一种开放轨道，航天器沿此轨道飞行将永远不会返回起点。在行星际飞行中，航天器通常首先进入围绕发射行星的停泊轨道，然后实施逃逸机动，进入双曲线轨道离开行星引力场。

双曲线轨道的数学描述如下：在极坐标系中，轨道方程为：

$$r=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

其中，$p$是半通径，$e$是偏心率（对于双曲线轨道，$e>1$），$\theta$是真近点角。

双曲线轨道的能量为正值：

$$\epsilon =\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}>0$$

双曲线轨道的半长轴$a$为负值，与能量的关系为：

$$\epsilon =-\frac{\mu }{2a}$$

双曲线轨道的近点距离为：

$$r_p=a(e-1)$$

双曲线轨道的渐近线与行星中心连线的夹角（称为转向角）为：

$$\delta =2\arcsin \left(\frac{1}{e}\right)$$

在行星际发射任务设计中，我们需要精确计算航天器的逃逸轨道参数，以确保其正确地进入预定的行星际转移轨道。通常，我们需要考虑以下因素：

1. 发射位置和时间：决定了地球（或其他发射行星）在太阳系中的位置
2. 目标行星的位置和时间：决定了目标行星在任务执行期间的位置
3. 转移轨道类型：如霍曼转移轨道或其他类型的转移轨道
4. 发射能量约束：由运载火箭的能力决定
5. 任务约束：如飞行时间、到达速度等

下面我们来详细分析地球到火星的发射窗口问题。由于地球和火星分别以不同的周期围绕太阳运行，它们之间的相对位置不断变化。理想的发射时机是当地球和火星处于特定的相位角关系时，这样可以最小化所需的能量。

对于霍曼转移轨道，地球和火星之间的最优相位角约为44°，即当火星在其轨道上领先地球约44°时发射，航天器将在转移轨道飞行半周期后正好与火星相遇。这种理想的相位关系大约每26个月出现一次，这就是我们常说的"火星发射窗口"。

例如，2020年7月至8月是一个火星发射窗口，NASA的"毅力号"火星车、中国的"天问一号"和阿联酋的"希望号"都在此期间发射。下一个较好的发射窗口将在2022年9月至10月出现。

2. 引力助推技术

引力助推是现代行星际探测任务中一项极其重要的技术，它允许航天器利用行星的引力场改变自身的速度和方向，从而节省大量推进剂。引力助推技术的发明者是美国喷气推进实验室（JPL）的科学家Michael Minovitch，他在20世纪60年代提出了这一概念。随后，这一技术在先驱者10号、旅行者1号和2号等多个深空探测任务中得到了成功应用。

2.1 引力助推原理

引力助推的核心原理基于天体力学中的三体问题。当航天器接近一个行星时，它将受到行星引力的作用而改变轨道。在行星参考系中，航天器的速度矢量方向会发生变化，但速度大小基本保持不变（忽略大气阻力等因素）。然而，如果我们从太阳参考系观察，航天器的速度不仅改变了方向，还可能增加或减少了大小。

从行星参考系来看，这是一个弹性散射过程。航天器接近行星时的速度矢量为${\vec{v}}_{in}$，离开行星时的速度矢量为${\vec{v}}_{out}$，它们的大小相等，但方向不同：

$$|{\vec{v}}_{in}|=|{\vec{v}}_{out}|$$

转向角$\delta$由行星引力场和航天器近点距离决定：

$$\delta =2\arcsin \left(\frac{1}{1+\frac{r_p{v}_{\infty }^2}{\mu }}\right)$$

其中，$r_p$是近点距离，$v_{\infty }$是航天器接近行星时的相对速度（也称为超速度），$\mu$是行星的引力常数。

从太阳参考系看，行星以速度${\vec{v}}_p$围绕太阳运行。航天器接近行星前在太阳参考系中的速度为${\vec{v}}_1$，离开行星后的速度为${\vec{v}}_2$。它们与行星参考系中的速度关系为：

$${\vec{v}}_{in}={\vec{v}}_1-{\vec{v}}_p$$
$${\vec{v}}_{out}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_p$$

由于$|{\vec{v}}_{in}|=|{\vec{v}}_{out}|$，但方向不同，因此${\vec{v}}_2$与${\vec{v}}_1$的大小通常不同。当${\vec{v}}_{out}$的方向与${\vec{v}}_p$大致相同时，航天器获得最大的速度增量；当${\vec{v}}_{out}$的方向与${\vec{v}}_p$大致相反时，航天器的速度将减小。

速度的变化量可以表示为：

$$\Delta v=2v_{\infty }\sin \left(\frac{\delta }{2}\right)\cos \beta$$

其中，$\beta$是入射速度${\vec{v}}_{in}$与行星速度${\vec{v}}_p$之间的夹角。

举个例子，旅行者2号探测器于1977年发射，通过依次飞越木星、土星、天王星和海王星，完成了对太阳系外行星的探测。如果没有引力助推，这一任务将需要难以想象的推进剂量和发射能量。通过木星引力助推，旅行者2号获得了约10 km/s的速度增量，这相当于在地球轨道上使用约350吨推进剂才能实现的速度变化。

2.2 多重引力助推

单次引力助推可以显著改变航天器的轨道，而多重引力助推则可以实现更复杂的轨道设计目标。多重引力助推是指航天器依次飞越多个行星或多次飞越同一行星，从而获得更大的轨道变化。这种技术在木卫二探测器、卡西尼-惠更斯探测器、信使号和新视野号等多个深空任务中得到了广泛应用。

设计多重引力助推轨道是一个复杂的优化问题，需要考虑以下因素：

1. 行星的相对位置和运动
2. 每次飞越的时间间隔
3. 每次飞越的近点距离和方向
4. 任务约束条件（如总飞行时间、最终轨道要求等）

常见的多重引力助推轨道类型包括：

VEEGA（Venus-Earth-Earth Gravity Assist）：这种轨道首先飞越金星，然后两次飞越地球。伽利略探测器使用了这种轨道前往木星。

VVEJGA（Venus-Venus-Earth-Jupiter Gravity Assist）：这种轨道依次飞越金星（两次）、地球和木星。卡西尼-惠更斯探测器使用了这种轨道前往土星。

以卡西尼-惠更斯探测器为例，它的飞行轨道如下：

1. 1997年10月15日：从地球发射
2. 1998年4月26日：第一次金星飞越（V1）
3. 1999年6月24日：第二次金星飞越（V2）
4. 1999年8月18日：地球飞越（E）
5. 2000年12月30日：木星飞越（J）
6. 2004年7月1日：到达土星系统

这一复杂的轨道设计使得卡西尼探测器能够携带足够的科学仪器前往土星，而如果仅依靠化学推进系统的直接转移，将无法实现这一任务。

多重引力助推轨道的设计通常采用"补丁圆锥"（Patched Conic）方法，即将整个轨道分解为一系列两体问题。在每个行星的影响球内，考虑航天器与该行星的两体运动；在行星影响球外，考虑航天器与太阳的两体运动。这种方法虽然是近似的，但在许多情况下能提供足够准确的初步轨道设计。

近年来，随着计算机技术的发展，更复杂的多重引力助推轨道设计方法也得到了应用，如直接数值优化、进化算法和低推力轨道设计等。这些方法能够更充分地利用行星的引力场，设计出更加高效的行星际轨道。

2.3 引力助推工程实现

在实际工程中实现引力助推需要极高的轨道预测和控制精度。一方面，航天器需要精确地飞越行星的特定位置，以获得预期的引力效应；另一方面，航天器必须避免与行星或其卫星相撞，或进入危险的辐射区域。

引力助推的工程实现主要涉及以下环节：

1. 轨道设计：确定飞越序列、飞越时间和近点参数
2. 导航定位：精确测定航天器的实时位置和速度
3. 轨道修正：进行中途修正机动，确保航天器按计划飞越目标天体
4. 近点控制：在接近行星时进行精确控制，确保按预定轨道飞越

以旅行者2号为例，在其飞越土星的过程中，工程师需要控制航天器在距离土星表面约101,000公里处飞越，偏差不能超过300公里。这需要极其精确的导航和控制。

在引力助推过程中，还需要考虑各种摄动因素，如：

• 行星非球形引力场的影响
• 行星大气的阻力（如果飞越高度较低）
• 太阳光压
• 行星卫星的引力干扰
• 太阳风和行星磁场对航天器的影响

这些因素都可能导致航天器的实际轨道偏离预期，因此需要进行精确的轨道预测和必要的修正。

3. 深空机动

深空机动是指航天器在太阳引力场中进行的轨道变更操作，通常发生在远离任何大型天体的空间区域。与引力助推不同，深空机动主要依靠航天器自身的推进系统来改变轨道参数。在长期的行星际任务中，深空机动是调整航天器轨道、精确控制到达时间和位置的重要手段。

3.1 深空机动原理

深空机动的基本原理是通过点火发动机产生推力，改变航天器的速度矢量，从而调整轨道。根据点火方向和持续时间的不同，可以改变轨道的不同参数。

深空机动的主要类型包括：

1. 平面内机动：改变轨道在本平面内的形状和尺寸

   • 近日点/远日点机动：改变轨道的偏心率和半长轴
   • 相位调整机动：改变航天器在轨道上的位置

2. 平面外机动：改变轨道平面的方向

   • 倾角改变机动：改变轨道平面与参考平面的夹角
   • 升交点移动机动：改变轨道面与参考平面的交线方向

从轨道力学的角度看，深空机动可以看作是对航天器速度矢量的瞬时改变。假设机动前后的速度矢量分别为${\vec{v}}_1$和${\vec{v}}_2$，则所需的速度变化为：

$$\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1$$

机动所需的推进剂质量可以通过火箭方程计算：

$$m_p=m_0\left(1-e^{-\Delta v/v_e}\right)$$

其中，$m_p$是推进剂质量，$m_0$是机动前航天器总质量，$v_e$是推进系统的有效排气速度。

在实际的深空机动中，由于推力有限，点火时间可能较长，因此不能简单地视为瞬时速度变化。在这种情况下，需要考虑有限推力下的轨道变化，这通常需要数值积分方法求解。

对于使用电推进系统的航天器，由于推力很小但比冲很高，通常采用连续推力的策略进行轨道转移，这种情况下的轨道设计更为复杂，需要使用最优控制理论和数值方法。

3.2 深空机动策略

在行星际任务中，深空机动常用于以下目的：

1. 轨道修正：修正发射偏差和累积误差
2. 时间调整：控制航天器到达目标天体的时间
3. 轨道优化：在多次引力助推之间调整轨道
4. 避险机动：避开太空碎片或其他危险物体
5. 科学需求：满足特定的科学观测需求

以新视野号冥王星探测器为例，它在2006年1月发射后，进行了以下关键的深空机动：

1. 2006年3月8日：首次深空机动，修正了火箭发射引入的轨道偏差
2. 2007年1月至5月：进行了一系列小的轨道修正，为木星引力助推做准备
3. 2010年至2015年：多次深空机动，精确调整航天器飞掠冥王星的时间和位置

这些机动确保了新视野号能够精确地飞掠冥王星系统，并获取高质量的科学数据。

在设计深空机动策略时，需要平衡以下因素：

1. 推进剂消耗：推进剂是航天器的宝贵资源，需要最小化其使用量
2. 机动时机：通常早期机动的效率高于后期机动
3. 导航精度：考虑轨道测定的误差和控制的不确定性
4. 备份策略：为可能的机动失败设计备份方案

一个普遍采用的深空机动策略是B平面（B-plane）靶向法。B平面是一个垂直于航天器接近目标天体的渐近速度矢量的平面，通过在B平面上选择合适的目标点，可以控制航天器相对于目标天体的飞越几何关系。这种方法在旅行者、伽利略和卡西尼等多个深空任务中得到了成功应用。

3.3 轨道优化方法

轨道优化是行星际轨道设计中的核心问题，其目标是在满足任务约束的前提下，找到最优的轨道参数和控制序列。随着计算机技术的发展和优化算法的进步，轨道优化方法日益成熟和多样化。

传统的轨道优化方法包括：

1. 解析方法：利用轨道力学的解析解求解简化问题
2. 间接法：基于变分法和庞特里亚金最大原理
3. 直接法：将连续的最优控制问题离散化为非线性规划问题

近年来，随着计算能力的提升，更多现代优化方法被应用于轨道设计：

4. 进化算法：如遗传算法、差分进化算法等
5. 粒子群优化：模拟生物群体行为的优化方法
6. 模拟退火：基于统计力学的全局优化方法
7. 机器学习方法：如强化学习、神经网络等

在实际应用中，通常将多种方法结合使用。例如，可以先使用全局优化方法（如进化算法）找到大致的解空间区域，然后使用局部优化方法（如梯度下降）精确求解。

以下是一个轨道优化问题的典型数学描述：

状态变量：航天器的位置和速度，记为$\mathbf{x}(t)=[\mathbf{r}(t),\mathbf{v}(t){]}^T$

控制变量：推力方向和大小，记为$\mathbf{u}(t)=[F(t),\alpha (t),\beta (t){]}^T$

状态方程：描述航天器在控制作用下的运动

$$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)$$

边界条件：起点和终点约束

$$\mathbf{x}(t_0)={\mathbf{x}}_0,\mathbf{x}(t_f)={\mathbf{x}}_f$$

路径约束：飞行过程中的约束条件

$$\mathbf{c}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)\le 0$$

性能指标：优化目标，如最小化推进剂消耗、最小化飞行时间等

$$J=\varphi (\mathbf{x}(t_f),t_f)+{\int }_{t_0}^{t_f}L(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t)dt$$

其中，$\varphi$是终端代价，$L$是积分代价。

这种最优控制问题通常没有解析解，需要通过数值方法求解。在实际应用中，常用的软件工具包括NASA的GMAT（General Mission Analysis Tool）、ESA的ASTOS和JPL的CATO等。

一个引人注目的轨道优化案例是"黎明号"探测器的任务。黎明号于2007年发射，分别于2011年和2015年到达小行星带中的灶神星和谷神星。这是首个依次进入两个不同天体轨道的探测器。黎明号使用的是离子推进系统，相比传统化学推进，其比冲高但推力小，需要更长时间的连续推力。为了设计最优的轨道转移策略，任务团队使用了先进的低推力轨道优化算法，精确计算了推力的方向和大小，实现了高效的轨道转移。

4. 现代行星际轨道设计趋势与挑战

随着深空探测任务的日益复杂化和多样化，行星际轨道设计面临新的趋势和挑战。

4.1 低能量轨道设计

传统的霍曼转移轨道和引力助推是基于两体问题和三体问题的近似解。然而，如果考虑多体问题中的动力学结构，可以发现存在更多种类的低能量轨道。

不变流形轨道：在限制性三体问题中，拉格朗日点附近存在稳定和不稳定流形。通过利用这些流形，航天器可以用极少的能量在不同天体之间转移。例如，日地系统的L1和L2点附近的不变流形可以用于地月转移；木星系统的流形可以用于探索木星的卫星系统。

弱稳定捕获轨道：这类轨道允许航天器以极低的能量被捕获到目标天体的引力场中。例如，2004年的"创世纪"号太阳风采样返回任务就使用了这种轨道，实现了低能量的地月转移。

多体引力辅助：通过巧妙利用多个天体的引力场，可以设计出更加复杂和高效的轨道。例如，土星卫星系统中的"旅行者"就可以利用多个卫星的引力场进行能量转移。

这些低能量轨道虽然飞行时间较长，但大大降低了推进剂需求，对于一些无人探测任务非常有吸引力。随着数值方法和动力学理论的发展，这一领域正在快速进步。

4.2 自主导航技术

随着深空探测距离的增加，地面控制面临越来越大的时延挑战。例如，地球与火星之间的无线电通信延迟最大可达22分钟，而更远的天体通信延迟更长。这使得实时地面控制变得困难，航天器的自主导航和决策能力变得越来越重要。

现代行星际探测器正逐步配备更强大的自主导航能力，包括：

1. 光学导航：通过相机观测恒星和行星位置，自主确定航天器的位置和姿态
2. 自主轨道确定：利用机载计算机处理导航数据，实时计算轨道参数
3. 自主决策：根据预定的逻辑和规则，自主调整飞行计划和执行机动
4. 人工智能辅助：利用机器学习和人工智能技术提高自主导航的鲁棒性和适应性

例如，美国宇航局的"好奇号"和"毅力号"火星车已经具备一定的自主导航能力，可以在地面控制人员的支持下自主规划路径和避障。未来的深空探测器将拥有更强的自主能力，能够在更复杂的环境中完成更具挑战性的任务。

4.3 先进推进技术

传统的化学推进系统在行星际飞行中面临推进剂效率的瓶颈。随着先进推进技术的发展，行星际轨道设计也在发生相应变化。

电推进系统：如霍尔效应推进器、离子推进器等，具有很高的比冲（通常为1500-5000秒，而化学推进系统通常为300-450秒），但推力较小。这类系统适合长期低推力飞行，可以实现螺旋上升的轨道转移。例如，欧洲航天局的"智能-1"月球探测器、NASA的"黎明号"小行星探测器和日本的"隼鸟"系列小行星采样返回探测器都使用了电推进系统。

核热推进：利用核反应堆产生的热能加热推进剂，比冲可达800-1000秒。NASA正在开发的核热推进系统可能用于未来的载人火星任务。

太阳帆：利用太阳光压作为推力源，无需携带推进剂。日本的IKAROS探测器成功验证了太阳帆技术，而NASA的NEA Scout计划使用太阳帆探索近地小行星。

激光帆：由地面或太空中的激光阵列提供推力，理论上可以实现接近光速的速度。“突破摄星”（Breakthrough Starshot）计划正在研究使用激光帆技术在数十年内到达比邻星。

这些先进推进技术为行星际轨道设计提供了新的可能性，但也带来了新的挑战。例如，低推力电推进系统的轨道优化问题比传统化学推进系统更为复杂，需要考虑连续推力的最优控制问题；而太阳帆的轨道设计则需要考虑太阳光压与航天器姿态的复杂关系。

5. 结语与展望

行星际轨道设计是一门融合了轨道力学、最优控制、数值计算和工程实践的综合性学科。从最初的霍曼转移轨道到现代的低能量轨道和低推力轨道，从纯粹的两体问题到复杂的多体动力学，行星际轨道设计理论和方法不断发展和完善。

未来，随着人类探索活动向太阳系深处和星际空间扩展，行星际轨道设计将面临新的挑战：更远的距离、更长的任务周期、更严格的可靠性要求和更复杂的任务目标。同时，人工智能、量子计算等新兴技术也将为行星际轨道设计带来新的工具和方法。

作为未来的航天工作者，你们将有机会参与这一激动人心的事业，为人类探索宇宙的伟大征程贡献自己的智慧和力量。希望本课程所学的轨道力学基础知识能够为你们未来的工作和研究提供有力的支持。

思考题

1. 分析地球到火星的霍曼转移轨道设计，计算最佳发射时机和所需的速度增量。
2. 引力助推技术对深空探测任务的意义是什么？试举例说明几个成功利用多重引力助推的历史任务。
3. 比较化学推进系统和电推进系统在行星际轨道设计中的优缺点。
4. 讨论不同轨道优化方法（如直接法、间接法、进化算法等）在行星际轨道设计中的适用场景。
5. 试分析低能量轨道（如不变流形轨道）在未来太阳系探索中的潜在应用。
6. 考虑设计一个从地球到木星的任务，探讨在不同任务约束（如飞行时间、推进剂消耗等）下，应如何选择合适的轨道设计方案。
7. 分析行星际飞行中自主导航技术的关键挑战，并讨论其对轨道设计的影响。
8. 讨论太阳帆推进技术的工作原理，并设计一个利用太阳帆从地球飞向小行星带的任务方案。
9. 研究多体问题动力学在行星际轨道设计中的应用，特别是拉格朗日点及其稳定/不稳定流形的利用。
10. 分析行星际轨道设计中的不确定性因素（如太阳风、辐射压力等），并探讨如何在轨道设计中考虑这些因素。
11. 讨论人工智能和机器学习技术如何应用于行星际轨道优化，并分析其优势和局限性。
12. 考虑一个往返于地球和火星之间的循环任务，设计能量高效的轨道方案，并讨论发射窗口的选择策略。

习题

1. 霍曼转移计算题：研究地球到火星的转移轨道。
   (a) 已知地球轨道半长轴为1 AU，火星轨道半长轴为1.524 AU，计算地火霍曼转移轨道的飞行时间
   (b) 计算所需的总速度增量
   © 分析发射时机对速度增量的影响

2. 引力助推分析题：研究木星引力助推的效果。
   (a) 某航天器需要飞越木星进行引力助推，木星的质量为1.898×10^27 kg，航天器相对木星的超速度为10 km/s，飞越距离为200,000 km，计算飞越偏转角
   (b) 计算可能获得的最大速度增量
   © 分析飞越距离对偏转角和速度增量的影响

3. 多重引力助推设计题：规划复杂的行星际飞行路径。
   (a) 设计一个从地球到土星的多重引力助推轨道，途经金星、地球和木星
   (b) 讨论每次飞越的目的和效果
   © 估算整个任务的总飞行时间和所需的发射能量

4. 轨道机动策略题：比较不同轨道平面变更策略。
   (a) 某深空探测器在距离太阳2 AU处需要改变轨道倾角30°，计算所需的速度增量
   (b) 如果采用双椭圆转移策略，速度增量会有什么变化
   © 分析在什么条件下双椭圆转移更为有利

5. 捕获轨道设计题：设计火星探测器的制动方案。
   (a) 航天器在接近火星时，距离火星10,000 km处的相对速度为5 km/s
   (b) 设计一个制动方案，使航天器进入环火星圆轨道，轨道高度为400 km
   © 计算所需的速度变化，并分析制动失败的风险及应对措施

6. 低推力轨道设计题：规划电推进任务。
   (a) 某探测器需要从地球轨道（1 AU）转移到小行星带（2.7 AU）进行探测，使用电推进系统（比冲3000秒，推力0.1 N）
   (b) 设计一条螺旋上升轨道，并计算所需的推进剂质量和飞行时间，探测器初始质量为1000 kg
   © 比较该方案与化学推进系统的优缺点

7. 比较分析题：评估不同水星飞行路径。
   (a) 计算从地球到水星的直接霍曼转移轨道所需的速度增量
   (b) 计算利用金星引力助推到达水星的方案所需的速度增量
   © 分析两种方案的优缺点，包括飞行时间、能量需求和技术难度

8. 轨道优化题：研究轨道面调整策略。
   (a) 某航天器在太阳系内执行多星连飞任务，现位于距太阳3 AU处，轨道倾角为5°，若需将轨道面调整为与黄道面重合
   (b) 计算直接平面机动所需的速度增量
   © 计算采用双椭圆转移策略所需的速度增量，并确定最佳转移点

9. 低能量轨道设计题：利用不变流形进行轨道设计。
   (a) 设计一条利用地球-月球系统L1点和L2点的不变流形进行地月转移的轨道
   (b) 与直接霍曼转移比较所需的速度增量
   © 分析低能量轨道的局限性和适用条件

10. 先进推进系统应用题：规划太阳帆飞行路径。
    (a) 某航天器采用太阳帆推进（特征加速度0.1 mm/s²）
    (b) 计算从地球到木星的最短飞行时间轨道
    © 分析太阳帆姿态控制策略对飞行性能的影响

11. 行星系统探测规划题：设计卫星系统内的飞行路径。
    (a) 在木星系统中，设计一条访问木卫二、木卫三和木卫四的轨道，要求飞越木卫二和木卫三后最终进入木卫四轨道
    (b) 计算每次飞越和轨道调整所需的速度变化
    © 分析任务约束条件对轨道设计的影响

12. 应急轨道设计题：处理航天器故障情况。
    (a) 某行星际探测器在执行任务过程中发生故障，推进系统只能提供总共500 m/s的速度变化能力，该探测器当前位于火星和木星之间的太阳轨道上（半长轴3 AU，偏心率0.2）
    (b) 设计一个利用最少的速度变化使其能够返回地球的方案
    © 分析轨道设计对任务持续时间的影响，并评估成功概率

参考文献

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