巧用数论与动态规划破解包子凑数问题

本文针对“包子凑数”问题，深入解析如何通过最大公约数（GCD）判断无法组成的数目是否无限，并结合动态规划高效求解有限情况下的具体数目。通过清晰的算法思路、代码实现及示例详解，揭秘数论与动态规划在组合问题中的巧妙应用，帮助读者掌握核心解题技巧。文章还包含复杂度分析与关键注意事项，适合算法学习者和编程爱好者阅读。

题目描述

小明想知道包子铺用给定的蒸笼规格能凑出多少种无法组成的包子数目。若无法组成的数目无限，输出 INF。

输入格式

第一行为整数 $N$ （蒸笼种数）
接下来 $N$ 行每行一个整数 $A_i$ （每种蒸笼的包子数）

输出格式

无法凑出的数目个数，若无限则输出 INF

问题分析

关键条件

若所有 $A_i$ 的最大公约数（GCD）不为 1，则无法组成的数目无限。例如，当所有数均为偶数时，无法组成任何奇数。

动态规划思路

当 GCD 为 1 时，使用动态规划判断每个数是否能被组成：

定义 dp[i] 表示能否凑出 i 个包子。
状态转移：若存在某个 $A_j$ 使得 dp[i - A_j] 为真，则 dp[i] 为真。

解题步骤

计算 GCD：若 GCD ≠ 1，直接输出 INF。
动态规划求解：遍历 1 到 100000，统计无法组成的数目。

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;int N;
int num[110];
bool dp[100010];  // dp[i]表示能否组成i个包子// 计算最大公约数
int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}int main() {cin >> N;int g = 0;  // 初始GCD为0for (int i = 1; i <= N; ++i) {cin >> num[i];g = gcd(g, num[i]);  // 更新GCD}// 若所有数的GCD不为1，输出INFif (g != 1) {cout << "INF" << endl;return 0;}dp[0] = true;  // 0个包子可以凑出// 动态规划填充数组for (int i = 1; i <= 100000; ++i) {for (int j = 1; j <= N; ++j) {if (i >= num[j] && dp[i - num[j]]) {dp[i] = true;  // 标记当前数目可凑}}}// 统计无法凑出的数目int res = 0;for (int i = 1; i <= 100000; ++i) {if (!dp[i]) ++res;}cout << res << endl;return 0;
}