【数学建模】（时间序列模型）ARIMA时间序列模型

ARIMA时间序列模型详解及常见时间序列模型概览

文章目录

ARIMA时间序列模型详解及常见时间序列模型概览
- 1 引言
- 2 ARIMA模型的基本概念
- 3 ARIMA模型的组成部分详解
- - 3.1 AR模型 (自回归模型)
  - 3.2 MA模型 (移动平均模型)
  - 3 I (差分)
- 4 ARIMA模型的建模步骤
- 5 Python实现ARIMA模型
- 6 常见时间序列模型概览
- - 1. 简单时间序列模型
  - 2. 指数平滑模型
  - 3. ARIMA族模型
  - 4. 状态空间模型
  - 5. 机器学习和深度学习模型
- 7 ARIMA模型的优缺点
- - 优点
  - 缺点
- 8 如何选择合适的时间序列模型
- 9 结论
- 参考资料

1 引言

时间序列分析在数据科学中占据重要地位，广泛应用于金融、经济、气象等领域。本文将详细介绍ARIMA模型的基本原理和应用，并简要概述其他常见的时间序列模型，帮助读者了解时间序列分析的全貌。

2 ARIMA模型的基本概念

ARIMA模型全称为自回归差分移动平均模型（AutoRegressive Integrated Moving Average），由三部分组成：

AR (AutoRegressive): 自回归部分
I (Integrated): 差分部分
MA (Moving Average): 移动平均部分

通常表示为ARIMA(p,d,q)，其中：

p: 自回归项数
d: 差分次数
q: 移动平均项数

ARIMA模型的基本思想是利用数据本身的历史信息来预测未来。一个时间点上的标签值既受过去一段时间内的标签值影响，也受过去一段时间内的偶然事件的影响，这就是说，ARIMA模型假设：标签值是围绕着时间的大趋势而波动的，其中趋势是受历史标签影响构成的，波动是受一段时间内的偶然事件影响构成的，且大趋势本身不一定是稳定的。

简而言之，ARIMA模型就是试图通过数据的自相关性和差分的方式，提取出隐藏在数据背后的时间序列模式，然后用这些模式来预测未来的数据。其中：

AR部分用于处理时间序列的自回归部分，它考虑了过去若干时期的观测值对当前值的影响。
I部分用于使非平稳时间序列达到平稳，通过一阶或者二阶等差分处理，消除了时间序列中的趋势和季节性因素。
MA部分用于处理时间序列的移动平均部分，它考虑了过去的预测误差对当前值的影响。

结合这三部分，ARIMA模型既可以捕捉到数据的趋势变化，又可以处理那些有临时、突发的变化或者噪声较大的数据。所以，ARIMA模型在很多时间序列预测问题中都有很好的表现。

3 ARIMA模型的组成部分详解

3.1 AR模型 (自回归模型)

AR模型，即自回归模型，其优势是对于具有较长历史趋势的数据，AR模型可以捕获这些趋势，并据此进行预测。但是AR模型不能很好地处理某些类型的时间序列数据，例如那些有临时、突发的变化或者噪声较大的数据。AR模型相信“历史决定未来”，因此很大程度上忽略了现实情况的复杂性、也忽略了真正影响标签的因子带来的不可预料的影响。

AR§模型假设当前值与过去p个时间点的值线性相关。数学表达式为：

$X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t$

其中：

$X_t$ 是t时刻的值
$c$ 是常数项
$\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p$ 是模型参数
$\varepsilon_t$ 是白噪声

3.2 MA模型 (移动平均模型)

相反地，MA模型，即移动平均模型，可以更好地处理那些有临时、突发的变化或者噪声较大的时间序列数据。但是对于具有较长历史趋势的数据，MA模型可能无法像AR模型那样捕捉到这些趋势。MA模型相信“时间序列是相对稳定的，时间序列的波动是由偶然因素影响决定的”，但现实中的时间序列很难一直维持“稳定”这一假设。

（P.S. ARIMA模型是一种结合了AR模型和MA模型优点的模型，可以处理更复杂的时间序列问题。参考资料：时间序列模型(四)：ARIMA模型）

MA(q)模型假设当前值与过去q个预测误差项线性相关。数学表达式为：

$X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q}$

其中：

$\mu$ 是期望值
$\varepsilon_t$ 是白噪声
$\theta_1, \theta_2, ..., \theta_q$ 是模型参数

3 I (差分)

差分操作用于使非平稳时间序列转化为平稳序列（P.S. GNSS中的周跳检测）。d阶差分定义为：

$\nabla^d X_t = (1-B)^d X_t$

其中B是后移算子， $B X_t = X_{t-1}$ 。

4 ARIMA模型的建模步骤

平稳性检验：使用ADF检验等方法检验时间序列是否平稳
差分处理：如果序列非平稳，进行差分直到序列平稳
模型识别：通过ACF和PACF图确定合适的p、q值
模型拟合：估计模型参数
模型诊断：检验残差是否为白噪声
模型预测：使用拟合好的模型进行预测

5 Python实现ARIMA模型

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf# 加载数据
data = pd.read_csv('data.csv', index_col='date', parse_dates=True)
ts = data['value']# 平稳性检验
def test_stationarity(timeseries):# ADF检验dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')dfoutput = pd.Series(dftest[0:4], index=['Test Statistic','p-value','#Lags Used','Number of Observations Used'])for key, value in dftest[4].items():dfoutput['Critical Value (%s)'%key] = valueprint(dfoutput)# 差分处理
ts_diff = ts.diff().dropna()# 模型拟合
model = ARIMA(ts, order=(1, 1, 1))  # ARIMA(p,d,q)
model_fit = model.fit()
print(model_fit.summary())# 模型预测
forecast = model_fit.forecast(steps=10)  # 预测未来10个时间点

6 常见时间序列模型概览

除了ARIMA模型外，时间序列分析还有许多其他模型，以下是一些常见的时间序列模型：

1. 简单时间序列模型

简单平均模型：使用历史数据的平均值作为预测值
朴素模型（Naive Method）：使用最近一期的观测值作为预测值
季节性朴素模型：使用上一个季节周期对应时间点的值作为预测值
移动平均模型：使用过去n个时间点的平均值作为预测值

2. 指数平滑模型

简单指数平滑（SES）：适用于无趋势、无季节性的数据
$\hat{y}_{t+1} = \alpha y_t + (1-\alpha)\hat{y}_t$
Holt线性趋势模型：适用于有趋势、无季节性的数据
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \hat{y}_{t+h} …$
Holt-Winters季节性模型：适用于有趋势、有季节性的数据
- 加法形式和乘法形式

3. ARIMA族模型

SARIMA：季节性ARIMA，处理具有季节性的时间序列
$SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$
ARIMAX：带外生变量的ARIMA模型
$X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + ... + \phi_p X_{t-p} + \beta_1 Z_{1,t} + ... + \beta_k Z_{k,t} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q}$
VARIMA：向量ARIMA，处理多变量时间序列
GARCH：广义自回归条件异方差模型，用于建模波动性
$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2$

4. 状态空间模型

卡尔曼滤波：递归估计动态系统状态的算法
结构时间序列模型：将时间序列分解为趋势、季节性和不规则成分

5. 机器学习和深度学习模型

Prophet：Facebook开发的时间序列预测工具，适合处理具有强季节性的数据
LSTM (长短期记忆网络)：一种特殊的RNN，能够学习长期依赖关系
GRU (门控循环单元)：LSTM的简化版本，计算效率更高
Transformer：基于注意力机制的模型，近年来在时间序列预测中表现出色
N-BEATS：纯深度学习方法，不依赖于传统的时间序列分解

7 ARIMA模型的优缺点

优点

理论基础扎实，模型简单易懂
适用于大多数线性时间序列问题
预测短期趋势效果较好
模型解释性强

缺点

只适用于平稳或可通过差分转化为平稳的时间序列
对非线性关系的建模能力有限
需要较长的历史数据才能得到较好的效果
不适合处理具有长期记忆特性的序列

8 如何选择合适的时间序列模型

选择时间序列模型时，需要考虑以下因素：

数据特性：是否存在趋势、季节性、周期性
预测时间范围：短期预测和长期预测适合的模型不同
数据量：深度学习模型通常需要更多的数据
解释性需求：是否需要理解模型的内部机制
计算资源：复杂模型需要更多的计算资源

9 结论

ARIMA作为经典的时间序列分析模型，在许多场景下仍然表现良好。随着机器学习和深度学习的发展，时间序列分析工具箱不断丰富，为不同的应用场景提供了更多选择。在实际应用中，应根据具体问题特点选择合适的模型，有时候甚至可以将多种模型结合使用，以获得更好的预测效果。

参考资料

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control.
Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice.
statsmodels官方文档: https://www.statsmodels.org/
时间序列模型(四)：ARIMA模型

希望这篇文章对您了解ARIMA和其他时间序列模型有所帮助！如有任何问题，欢迎在评论区留言交流。