【前沿模型解析】一致性模型CM(一)| 离散时间模型到连续时间模型数学推导

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CM模型非常重要

引出了LCM等一系列重要工作

CM潜在性模型的数学公式推导并不好理解

一步一步,我分几期记录学习过程

在这里插入图片描述

描述了一个随机过程的离散化近似及其对应的随机微分方程(SDE)

1 离散时间模型

首先第一行,它定义了一个离散时间模型,其中 X i X_i Xi 表示时间 t i t_i ti 的状态:

X i = 1 − β i X i − 1 + β i ϵ i , i = 1 , . . . , N X_i = \sqrt{1-\beta_i}X_{i-1} + \sqrt{\beta_i}\epsilon_i, \quad i=1,...,N Xi=1βi Xi1+βi ϵi,i=1,...,N

其中:

  • β i = β ( t i ) Δ t \beta_i = \beta(t_i)\Delta t βi=β(ti)Δt β ( t ) \beta(t) β(t) 是一个时间相关的函数。
  • Δ t = T / N \Delta t = T/N Δt=T/N,表示时间步长。
  • ϵ i \epsilon_i ϵi 是独立同分布的随机变量。

当时间步长 Δ t \Delta t Δt 趋近于 0,即 N N N 趋近于无穷时,该模型可以用来逼近一个连续时间随机

2 连续时间模型 得到 SDE 随机微分方程

通过对离散模型进行近似,我们可以得到一个描述 x ( t ) x(t) x(t) 的随机微分方程 (SDE):

d x = − 1 2 β ( t ) x ( t ) d t + β ( t ) d W ( t ) , t ∈ [ 0 , T ] dx = -\frac{1}{2}\beta(t)x(t)dt + \sqrt{\beta(t)}dW(t), \quad t \in [0,T] dx=21β(t)x(t)dt+β(t) dW(t),t[0,T]

其中:

  • W ( t ) W(t) W(t) 是一个标准的 Wiener 过程 (布朗运动)。
  • β ( t ) \beta(t) β(t) 与离散模型中的定义相同。

2.1 从离散模型到SDE的推理步骤

1. 展开:

首先,我们将 X i X_i Xi X i − 1 X_{i-1} Xi1 展开:

X i ≈ X i − 1 + Δ X i X_i \approx X_{i-1} + \Delta X_i XiXi1+ΔXi

即可得到

$\Delta X_i \approx X_i - X_{i-1} $

2. 将离散模型代入:

然后,我们将离散模型的表达式代入右边 X i X_i Xi

Δ X i = X i − X i − 1 = ( 1 − β i − 1 ) X i − 1 + β i ϵ i \Delta X_i = X_i - X_{i-1} = (\sqrt{1-\beta_i}-1)X_{i-1} + \sqrt{\beta_i}\epsilon_i ΔXi=XiXi1=(1βi 1)Xi1+βi ϵi

由于 Δ t \Delta t Δt 很小,所以$\beta_i $趋近于0,我们可以用一级泰勒展开近似 1 − β i \sqrt{1-\beta_i} 1βi

1 − β i ≈ 1 − 1 2 β i \sqrt{1-\beta_i} \approx 1 - \frac{1}{2}\beta_i 1βi 121βi

代入上式,得到:

Δ X i ≈ − 1 2 β i X i − 1 + β i ϵ i \Delta X_i \approx -\frac{1}{2}\beta_i X_{i-1} + \sqrt{\beta_i}\epsilon_i ΔXi21βiXi1+βi ϵi

3. 替换变量并取极限:

  • β i \beta_i βi 替换为 β ( t i ) Δ t \beta(t_i)\Delta t β(ti)Δt
  • ϵ i \epsilon_i ϵi 替换为 Δ W i = W ( t i ) − W ( t i − 1 ) \Delta W_i = W(t_i) - W(t_{i-1}) ΔWi=W(ti)W(ti1),其中 W ( t ) W(t) W(t) 是标准 Wiener 过程 (布朗运动)。
  • Δ X i \Delta X_i ΔXi 替换为 d x dx dx,将 X i − 1 X_{i-1} Xi1 替换为 x ( t ) x(t) x(t)
  • 取极限 Δ t → 0 \Delta t \to 0 Δt0,得到 SDE:

d x = − 1 2 β ( t ) x ( t ) d t + β ( t ) d W ( t ) dx = -\frac{1}{2}\beta(t)x(t)dt + \sqrt{\beta(t)}dW(t) dx=21β(t)x(t)dt+β(t) dW(t)

3 补充:泰勒展开近似 1 − β i \sqrt{1-\beta_i} 1βi

由于 β i = β ( t i ) Δ t \beta_i = \beta(t_i)\Delta t βi=β(ti)Δt,当 Δ t \Delta t Δt 很小时, β i \beta_i βi 也会很小。因此,我们可以使用泰勒级数展开来近似 1 − β i \sqrt{1-\beta_i} 1βi

泰勒级数展开式:

函数 f ( x ) f(x) f(x) x = a x=a x=a 处的泰勒级数展开式为:

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) f(x)=f(a)+f(a)(xa)+2!f′′(a)(xa)2+...+n!f(n)(a)(xa)n+Rn(x)

其中, R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 是余项,表示展开式的误差。

应用于 1 − β i \sqrt{1-\beta_i} 1βi

我们将 f ( x ) = 1 − x f(x) = \sqrt{1-x} f(x)=1x a = 0 a=0 a=0,代入泰勒级数展开式,得到:

f ( x ) = 1 − x = 1 − 1 2 x − 1 8 x 2 − . . . f(x) = \sqrt{1-x} = 1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - ... f(x)=1x =121x81x2...

由于 β i \beta_i βi 很小,我们可以忽略高阶项,得到近似式:

1 − β i ≈ 1 − 1 2 β i \sqrt{1-\beta_i} \approx 1 - \frac{1}{2}\beta_i 1βi 121βi

总结:

通过泰勒级数展开,我们将 1 − β i \sqrt{1-\beta_i} 1βi 近似为 1 − 1 2 β i 1 - \frac{1}{2}\beta_i 121βi,从而简化了离散模型,并最终推导出了对应的 SDE。

后面证明了SDE对应一个ODE,可以用常微分方程来解决

潜在一致性模型LCM学习笔记 - 知乎 (zhihu.com)

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