引言

在交流电路领域，深入理解电压和电流等正弦量的表示方式对电路分析至关重要。其中，只用实数表示正弦量存在诸多局限性，而复数的引入则为正弦量的描述与分析带来了极大的便利。下面将从瞬时值角度，详细剖析只用实数的局限性，以及复数在表示正弦量时如何精准获取幅值、角频率和初相位等关键信息。

一、只用实数在表示正弦量时从瞬时值角度的局限性

（一）正弦量的瞬时值表达式

在交流电路中，正弦电压和电流这类正弦量，其数学表达式为$$u(t)=U_m\sin (\omega t+{\phi }_u)$$、$$i(t)=I_m\sin (\omega t+{\phi }_i)$$其中，$U_m$和$I_m$分别代表电压和电流的幅值，决定了正弦波的最大取值范围；$\omega$是角频率，控制着正弦波随时间变化的速率；${\phi }_u$和${\phi }_i$为初相位，决定了正弦波在$t=0$时刻的起始位置；$t$则是时间变量，随着$t$的变化，正弦量呈现周期性的变化。

（二）单一实数只能表示某一时刻的瞬时值

当仅采用实数来描述正弦量时，我们所得到的只是在某一特定时刻$t=t_0$的瞬时值。例如，对于正弦电压$u(t)$，在$t=t_0$时，其瞬时值$$u(t_0)=U_m\sin (\omega t_0+{\phi }_u)$$这个实数仅仅是正弦函数在该特定时刻的取值，它孤立地存在，无法传递出关于整个正弦波的全面信息。

（三）难以获取幅值

幅值$U_m$是正弦波的重要特征参数，它决定了正弦波在整个周期内的最大电压值。然而，仅依据一个瞬时值，我们无法确切知晓这个最大值的具体数值。这是因为不同幅值的正弦波在某些特定时刻可能会出现相同的瞬时值。例如，有两个正弦电压$$u_1(t)=5\sin (\omega t+\phi )$$和$$u_2(t)=10\sin (\omega t+\phi )$$当$t=0$且$\phi =0$时，$u_1(0)=5\sin (0)=0$，$u_2(0)=10\sin (0)=0$。在这个时刻，二者的瞬时值均为$0$，但显然它们的幅值分别为$5$和$10$，这表明仅从这一时刻的瞬时值$0$，我们无法判断出它们幅值的差异。

再考虑更一般的情况，假设我们在某一时刻$t_1$得到瞬时值$u(t_1)=3$。由于正弦函数的周期性和多值性，存在无数个不同幅值的正弦波在$t_1$时刻都可能取值为$3$。比如，对于正弦函数$$y=A\sin (x+\theta )$$当$y=3$时，$A$和$\theta$有多种组合都能满足这一条件，所以仅从这个瞬时值$3$，我们无法确定$U_m$的准确值。

（四）难以获取角频率

角频率$\omega$决定了正弦波变化的快慢程度，它反映了正弦量在单位时间内完成的周期数。然而，单一的瞬时值无法体现出这种变化速率。例如，我们有两个正弦电压$$u_3(t)=\sin (2t+\phi )$$和$$u_4(t)=\sin (4t+\phi )$$当$t=\frac{\pi }{4}$且$\phi =0$时，$$u_3(\frac{\pi }{4})=\sin (2\times \frac{\pi }{4})=\sin (\frac{\pi }{2})=1$$$$u_4(\frac{\pi }{4})=\sin (4\times \frac{\pi }{4})=\sin (\pi )=0$$（这里假设一个特殊情况，若调整$\phi$，二者在某时刻仍可能相等）。仅从这一时刻的瞬时值，比如都为$1$（调整$\phi$后可能出现），我们无法判断出它们的角频率分别是$2$和$4$，也就无法知晓哪个正弦波变化得更快。

从数学原理上分析，正弦函数$$y=\sin (\omega t+\phi )$$对于固定的$t$和$y$值，$\omega$可以有多种取值，因为$\omega$参与了正弦函数的周期计算，而仅一个瞬时值无法提供关于周期的信息，所以难以获取角频率。

（五）难以获取初相位

初相位$\phi$决定了正弦波在$t=0$时刻的起始位置，它反映了正弦波与标准正弦波$\sin (\omega t)$的相位差异。不同初相位的正弦波在同一时刻的瞬时值可能相同，但它们的相位关系却截然不同。例如，有两个正弦电压$$u_5(t)=\sin (t+\frac{\pi }{6})$$和$$u_6(t)=\sin (t-\frac{\pi }{6})$$当$t=\frac{\pi }{3}$时，$$u_5(\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{\pi }{2})=1$$$$u_6(\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$$（这里先按常规计算，若调整$t$值二者可能相等）。假设调整$t$值使二者瞬时值相等，仅从这个相等的瞬时值，我们无法确定它们的初相位分别是$\frac{\pi }{6}$和$-\frac{\pi }{6}$。

初相位的确定对于分析多个正弦量之间的相位关系至关重要。在交流电路中，相位差会影响电路的功率因数、电流电压的先后顺序等重要参数。但仅从一个瞬时值，我们无法获取这些关键信息，这给电路分析带来了极大的困难。

二、用复数表示正弦量能获取相关信息的原理

（一）复数的极坐标形式与正弦量的对应

复数具有多种表示形式，其中极坐标形式为$$Z=r(\cos \theta +j\sin \theta )$$这里$r$是复数的模，$\theta$是复数的辐角。在交流电路分析中，我们巧妙地将正弦量与复数建立起对应关系。对于正弦电压$$u(t)=U_m\sin (\omega t+\phi )$$可以用复数$\dot{U}=U_m\angle \phi$来表示。在这个对应关系中，$U_m$对应复数的模$r$，它直观地表示了正弦量的幅值；$\phi$对应辐角$\theta$，准确地反映了正弦量的初相位。

（二）获取幅值

从复数的极坐标形式$$\dot{U}=U_m\angle \phi$$中，我们能够直接读取到$U_m$，它就是复数的模，明确无误地表示了正弦电压的幅值。例如，当我们有复数$\dot{U}=10\angle 30^{\circ }$时，这里的$10$就是对应的正弦电压的幅值。与只用实数表示时需要通过复杂的计算和推断不同，在复数表示中，幅值信息一目了然，无需任何额外的处理。这使得我们在分析电路时，能够快速准确地了解正弦电压的最大取值范围，为后续的计算和分析提供了极大的便利。

（三）获取初相位

辐角$\phi$在复数表示中对应着正弦量的初相位。例如，对于复数$$\dot{I}=5\angle 45^{\circ }$$其中的$45^{\circ }$就是对应的正弦电流的初相位。通过这种方式，我们能够清晰地了解到正弦电流在$t=0$时刻的起始状态。在分析多个正弦量之间的相位关系时，这种表示方式的优势尤为明显。例如，当我们有两个正弦电流$${\dot{I}}_1=3\angle 30^{\circ }$$和$${\dot{I}}_2=4\angle 60^{\circ }$$我们可以直接通过辐角的差值计算出它们的相位差为$$60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$$这对于分析交流电路中的功率因数、电流电压的相位关系等参数具有重要意义。

（四）与角频率的联系

在相量法分析交流电路中，虽然复数本身的表示形式没有直接明确写出角频率$\omega$，但在实际运算过程中，角频率起着不可或缺的作用。例如，在计算正弦稳态电路的响应时，我们使用相量（复数形式）进行运算。对于一个含有电感$L$的电路，电感的阻抗$$Z_L=j\omega L$$这里的$\omega$就是角频率。在使用复数进行电路分析时，通过对阻抗等参数的运算，间接考虑了角频率对电路的影响。

从电路的基本原理来看，正弦量的时间函数形式与角频率紧密相关。在相量法中，我们将正弦量用复数表示后，在进行复数运算时，虽然没有直接看到$\omega$的参与，但实际上$\omega$通过阻抗、导纳等参数影响着复数的运算结果。例如，在计算一个由电阻$R$、电感$L$和电容$C$组成的串联电路的总阻抗$Z$时，$$Z=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$这里的$\omega$对角频率对总阻抗的虚部产生影响，进而影响整个电路的电流和电压分布。

（五）复数运算与正弦量运算的对应

复数的运算规则与正弦量之间的运算有着紧密且巧妙的对应关系，这使得在分析交流电路时，使用复数能够极大地简化计算过程。例如，在计算两个正弦量的和时，如果采用三角函数的方法，会涉及到复杂的三角函数公式推导和运算。假设有两个正弦电压$$u_1(t)=U_{m1}\sin (\omega t+{\phi }_1)$$和$$u_2(t)=U_{m2}\sin (\omega t+{\phi }_2)$$若直接用三角函数相加，需要利用三角函数的和差公式$$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$进行展开和合并，过程繁琐且容易出错。

而当我们将它们用对应的复数表示为$${\dot{U}}_1=U_{m1}\angle {\phi }_1$$和$${\dot{U}}_2=U_{m2}\angle {\phi }_2$$时，它们的和$$u(t)=u_1(t)+u_2(t)$$对应的复数就是$$\dot{U}={\dot{U}}_1+{\dot{U}}_2$$在复数运算中，我们可以利用复数的加法法则，将${\dot{U}}_1$和${\dot{U}}_2$转化为直角坐标形式$${\dot{U}}_1=U_{m1}\cos {\phi }_1+j{U}_{m1}\sin {\phi }_1$$$${\dot{U}}_2=U_{m2}\cos {\phi }_2+j{U}_{m2}\sin {\phi }_2$$然后进行加法运算$$\dot{U}=(U_{m1}\cos {\phi }_1+U_{m2}\cos {\phi }_2)+j(U_{m1}\sin {\phi }_1+U_{m2}\sin {\phi }_2)$$最后再将结果转换回极坐标形式$$\dot{U}=U\angle \phi$$其模$U$和辐角$\phi$就对应着合成后的正弦量的幅值和初相位。这种运算方式不仅简化了计算过程，还使得结果更加直观、易于理解。

三、复变函数的提出及优势

（一）数学理论完善的需求

在数学发展历程中，许多代数方程在实数范围内无法求解，这促使数学家们寻求数系的扩充。例如方程$$x^2+1=0$$在实数范围内没有解，因为任何实数的平方都大于等于$0$。但引入虚数单位$i$（$i^2=-1$）后，方程的解为$x=\pm i$，这使得代数方程理论更加完备。复变函数建立在复数域上，它将函数的概念从实数域拓展到复数域，使得函数理论得到了极大的丰富和完善。例如，复变函数中的解析函数具有许多独特的性质，像柯西积分定理、柯西积分公式等，这些理论在实函数中是不存在的，它们为解决各种数学问题提供了新的工具和思路。

（二）实际应用的广泛需求

电气工程领域：在交流电路分析中，如前文所述，复数能够简洁地表示电压和电流的幅值与相位关系，方便进行电路参数计算和分析。在计算复杂电路的阻抗、电流和电压分布时，使用复变函数和相量法可以大大简化计算过程，提高分析效率。此外，在电机设计、电力系统稳定性分析等方面，复变函数也发挥着重要作用。例如，通过复变函数可以分析电机内部的磁场分布，优化电机的性能；在电力系统中，利用复变函数可以研究电力传输过程中的功率损耗和稳定性问题。

信号处理领域：在信号处理中，经常需要对信号进行频谱分析、滤波、调制解调等操作。复变函数中的傅里叶变换、拉普拉斯变换等工具，能够将时域信号转换为频域信号进行分析，其中复数的运用使得信号在频域的特性能够更清晰地展现出来。例如，在音频信号处理中，通过傅里叶变换将音频信号转换为频域表示，利用复数的实部和虚部可以分析信号的频率成分和相位信息，从而实现音频的降噪、增强等处理。

流体力学领域：在研究流体的流动特性时，复变函数可以用来描述流体的势流和涡旋等现象。通过建立复势函数，将流体的速度、压力等物理量与复数联系起来，能够方便地分析流体的流动状态。例如，在分析机翼周围的气流时，利用复变函数可以计算气流的速度分布和压力分布，为机翼的设计提供理论依据。

量子力学领域：在量子力学中，描述微观粒子状态的波函数通常是复数形式。复数的引入能够准确地描述微观粒子的波动性和粒子性等特性，如粒子的概率幅、相位等信息都可以通过复数来表示。例如，薛定谔方程是量子力学的基本方程，其解就是复数形式的波函数，通过对波函数的分析可以预测微观粒子的行为和状态。

综上所述，复变函数的提出是为了满足数学理论完善和实际应用的需求。与实数相比，复变函数在解决代数方程求解、交流电路分析、信号处理、流体力学、量子力学等诸多领域的问题时具有显著的优势，仅用实数无法满足这些复杂问题的分析和解决需求。在交流电路分析中，复数的引入为正弦量的表示和运算带来了革命性的变化，大大简化了分析和计算过程，为电力系统、电子电路等领域的研究和应用提供了强大的数学工具。