线性回归

线性回归是一种较为简单，但十分重要的机器学习方法。掌握线性的原理及求解方法，是深入了解线性回归的基本要求。除此之外，线性回归也是监督学习回归部分的基石，希望你能通过本文掌握机器学习的一些重要的思想。

知识点

• 一元线性回归
• 平方损失函数
• 最小二乘法及代数求解
• 线性回归实现
• 最小二乘法的矩阵推导

前面，我们了解了分类和回归问题的区别。也就是说，回归问题旨在实现对连续值的预测，例如股票的价格、房价的趋势等。比如，下方展现了一个房屋面积和价格的对应关系图。 

如上图所示，不同的房屋面积对应着不同的价格。现在，假设我手中有一套房屋想要出售，而出售时就需要预先对房屋进行估值。于是，我想通过上图，也就是其他房屋的售价来判断手中的房产价值是多少。应该怎么做呢？

我采用的方法是这样的。如下图所示，首先画了一条红色的直线，让其大致验证橙色点分布的延伸趋势。然后，我将已知房屋的面积大小对应到红色直线上，也就是蓝色点所在位置。最后，再找到蓝色点对应于房屋的价格作为房屋最终的预估价值。

在上图呈现的这个过程中，通过找到一条直线去拟合数据点的分布趋势的过程，就是线性回归的过程。而线性回归中的「线性」代指线性关系，也就是图中所绘制的红色直线。 

此时，你可能心中会有一个疑问。上图中的红色直线是怎么绘制出来的呢？为什么不可以像下图中另外两条绿色虚线，而偏偏要选择红色直线呢？ 

绿色虚线的确也能反应数据点的分布趋势。所以，找到最适合的那一条红色直线，也是线性回归中需要解决的重要问题之一。

通过上面这个小例子，相信你对线性回归已经有一点点印象了，至少大致明白它能做什么。接下来的内容中，我们将了解线性回归背后的数学原理，以及使用 Python 代码对其实现。

上面针对  线性回归 的介绍内容中，我们列举了一个房屋面积与房价变化的例子。其中，房屋面积为自变量，而房价则为因变量。另外，我们将只有 1 个自变量的线性拟合过程叫做一元线性回归。

下面，我们就生成一组房屋面积和房价变化的示例数据。x 为房屋面积，单位是平方米; y 为房价，单位是万元。 

教学代码 

import numpy as npx = np.array([56, 72, 69, 88, 102, 86, 76, 79, 94, 74])
y = np.array([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

示例数据由 10 组房屋面积及价格对应组成。接下来，通过 Matplotlib 绘制数据点，xx, yy 分别对应着横坐标和纵坐标。

from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inlineplt.scatter(x, y)
plt.xlabel("Area")
plt.ylabel("Price")

正如上面所说，线性回归即通过线性方程去拟合数据点。那么，我们可以令该 1 次函数的表达式为：

公式 (1) 是典型的一元一次函数表达式，我们通过组合不同的 w0 和 w1​ 的值得到不同的拟合直线。 

接下来，对公式 (1)(1) 进行代码实现：

def f(x, w0, w1):y = w0 + w1 * xreturn y

那么，哪一条直线最能反应出数据的变化趋势呢？ 

想要找出对数据集拟合效果最好的直线，这里再拿出上小节图示进行说明。如下图所示，当我们使用 y(x,w)=w0+w1x 对数据进行拟合时，就能得到拟合的整体误差，即图中蓝色线段的长度总和。如果某一条直线对应的误差值最小，是不是就代表这条直线最能反映数据点的分布趋势呢？ 

正如上面所说，如果一个数据点为 (xi yi)，那么它对应的误差就为： 

上面的误差往往也称之为「残差」。但是在机器学习中，我们更喜欢称作「损失」，即真实值和预测值之间的偏离程度。那么，对 nn 个全部数据点而言，其对应的残差损失总和就为：

更进一步，在线性回归中，我们一般使用残差的平方和来表示所有样本点的误差。公式如下 

使用残差平方和的好处在于能保证损失始终是累加的正数，而不会存在正负残差抵消的问题。对于公式 (4)(4) 而言，机器学习中有一个专门的名词，那就是「平方损失函数」。而为了得到拟合参数 w0 和 w1​ 最优的数值，我们的目标就是让公式 (4) 对应的平方损失函数最小。

同样，我们可以对公式 (4) 进行代码实现： 

def square_loss(x, y, w0, w1):loss = sum(np.square(y - (w0 + w1*x)))return loss

如果某条直线拟合样本得到的总损失最小，那么这条直线就是最终想得到的结果。而求解损失最小值的过程，就必须用到下面的数学方法了。

最小二乘法是用于求解线性回归拟合参数 w 的一种常用方法。最小二乘法中的「二乘」代表平方，最小二乘也就是最小平方。而这里的平方就是指代上面的平方损失函数。

PS：最小二乘法（Least Squares Method） 是一种数学优化方法，用于在数据中找到最优的模型参数，使得模型预测值与实际观测值之间的误差平方和最小。

在回归问题中，最小二乘法的目标是找到一条最佳拟合线，使得数据点与拟合线之间的距离（误差）平方和达到最小。

简单来讲，最小二乘法也就是求解平方损失函数最小值的方法。那么，到底该怎样求解呢？这就需要使用到高等数学中的知识。推导如下： 

首先，平方损失函数为： 

我们的目标是求取平方损失函数 min(f) 最小时，对应的 w。首先求 f 的 1 阶偏导数： 

 

 

 到目前为止，已经求出了平方损失函数最小时对应的 w 参数值，这也就是最佳拟合直线。

我们将公式 (7) 求解得到 w 的过程进行代码实现： 

def w_calculator(x, y):n = len(x)w1 = (n*sum(x*y) - sum(x)*sum(y))/(n*sum(x*x) - sum(x)*sum(x))w0 = (sum(x*x)*sum(y) - sum(x)*sum(x*y))/(n*sum(x*x)-sum(x)*sum(x))return w0, w1

于是，可以向函数 w_calculator(x, y) 中传入 x 和 y 得到 w0​ 和 w1​ 的值。

w_calculator(x, y)

当然，我们也可以求得此时对应的平方损失的值：

w0 = w_calculator(x, y)[0]
w1 = w_calculator(x, y)[1]square_loss(x, y, w0, w1)

接下来，我们尝试将拟合得到的直线绘制到原图中： 

x_temp = np.linspace(50, 120, 100)  # 绘制直线生成的临时点plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_temp, x_temp*w1 + w0, 'r')

从上图可以看出，拟合的效果还是不错的。那么，如果你手中有一套 150 平米的房产想售卖，获得预估报价就只需要带入方程即可：

f(150, w0, w1)

这里得到的预估售价约为 154 万元。这就是一个最小二乘法求解线性回归问题的完整过程。

sk-learn

上面的内容中，我们学习了什么是最小二乘法，以及使用 Python 对最小二乘线性回归进行了完整实现。那么，我们如何利用机器学习开源模块 scikit-learn 实现最小二乘线性回归方法呢？ 

使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多，这里要用到 LinearRegression() 类 。看一下其中的参数： 

使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多，这里要用到 LinearRegression() 类 。看一下其中的参数：

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=1)

- fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。
- normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。
- copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。
- n_jobs: 计算时的作业数量。默认为 1，若为 -1 则使用全部 CPU 参与运算。

from sklearn.linear_model import LinearRegression# 定义线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(x.reshape(len(x), 1), y)  # 训练，reshape 操作把数据处理成 fit 能接受的形状# 得到模型拟合参数
model.intercept_, model.coef_

这里，通过 model.intercept_ 可以得到拟合的截距项，即上面的 w0w0​，通过 model.coef_ 得到 xx 的系数，即上面的 w1w1​。对比发现，结果是完全一致的。

同样，我们可以预测 150 平米房产的价格：

model.predict([[150]])

可以看到，这里得出的结果和自行实现计算结果一致。

PS：这里虽然只有一维的数据，但是还是要处理成二维的，因为线性规划就是要二维的数据，如果一维就得升维，如果三维就得降维，下面是个例子：

在 scikit-learn 的线性回归实现中，数据格式要求：

• 每一行表示一个 样本。
• 每一列表示一个 特征。

二维数组的形式：

• 形状为 (n_samples, n_features)：
  • n_samples 是样本数（行数）。
  • n_features 是特征数（列数）。

对于一维数据：

• 每个样本只有一个特征，例如 x=[1,2,3,4,5]x = [1, 2, 3, 4, 5]x=[1,2,3,4,5]。
• 转换为二维时，形状变为 (5, 1)，表示有 5 个样本，每个样本只有 1 个特征。

转换后矩阵：

最小二乘法的矩阵推导及实现

 学习完上面的内容，相信你已经了解了什么是最小二乘法，以及如何使用最小二乘法进行线性回归拟合。上面，实验采用了求偏导数的方法，并通过代数求解找到了最佳拟合参数 w 的值。这里，我们尝试另外一种方法，即通过矩阵的变换来计算参数 w。

首先，一元线性函数的表达式为 y(x,w)=w0+w1x，表达成矩阵形式为：

PS：

                                        ​​​​​​​         

(8) 式中，W 为 [w0 w1]，而 X 则是 [1,x1 1,x2 ⋯ 1,x9 1,x10][1,x1​ 1,x2​ ⋯ 1,x9​ 1,x10​​] 矩阵。然后，平方损失函数为： 

 

 通过对公式 (9) 实施矩阵计算乘法分配律得到：

在该公式中 y 与 XW 皆为相同形式的 (m,1) 矩阵，由此两者相乘属于线性关系，所以等价转换如下： 

 此时，对  矩阵求偏导数 得到：

我们可以针对公式 (13) 进行代码实现：

def w_matrix(x, y):w = (x.T * x).I * x.T * yreturn w

这里计算时，需要对原 x 数据添加截距项系数 1。 

x = np.matrix([[1, 56], [1, 72], [1, 69], [1, 88], [1, 102],[1, 86], [1, 76], [1, 79], [1, 94], [1, 74]])
y = np.matrix([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])w_matrix(x, y.reshape(10, 1))

可以看到，矩阵计算结果和前面的代数计算结果一致。你可能会有疑问，那就是为什么要采用矩阵变换的方式计算？一开始学习的代数计算方法不好吗？

其实，并不是说代数计算方式不好，在小数据集下二者运算效率接近。但是，当我们面对十万或百万规模的数据时，矩阵计算的效率就会高很多，这就是为什么要学习矩阵计算的原因。

目前，你已经学习了如何使用最小二乘法进行线性回归拟合，以及通过代数计算和矩阵变换两种方式计算拟合系数 w，这已经达到了掌握线性回归方法的要求。接下来，我们将尝试加载一个真实数据集，并使用 scikit-learn 构建预测模型，实现回归预测。 

既然前面的 2 个小节中，都使用了和房价相关的示例数据。这里，我们就采用一个真实的房价数据集，也就是「波士顿房价数据集」。 

数据集介绍及划分 

 波士顿房价数据集 是机器学习中非常知名的数据集，它被用于多篇回归算法研究的学术论文中。该数据集共计 506 条，其中包含有 13 个与房价相关的特征以及 1 个目标值（房价）。

import pandas as pddf = pd.read_csv("https://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/1081/course-5-boston.csv")

查看 DataFrame 前 5 行数据。

df.head()

该数据集统计了波士顿地区各城镇的住房价格中位数，以及与之相关的特征。每列数据的列名解释如下：

• CRIM: 城镇犯罪率。
• ZN: 占地面积超过 2.5 万平方英尺的住宅用地比例。
• INDUS: 城镇非零售业务地区的比例。
• CHAS: 查尔斯河是否经过 (=1 经过，=0 不经过)。
• NOX: 一氧化氮浓度（每 1000 万份）。
• RM: 住宅平均房间数。
• AGE: 所有者年龄。
• DIS: 与就业中心的距离。
• RAD: 公路可达性指数。
• TAX: 物业税率。
• PTRATIO: 城镇师生比例。
• BLACK: 城镇的黑人指数。
• LSTAT: 人口中地位较低人群的百分数。
• MEDV: 城镇住房价格中位数。

本次实验中，我们不会使用到全部的数据特征。这里，仅选取 CRIM, RM, LSTAT 三个特征用于线性回归模型训练。我们将这三个特征的数据单独拿出来，并且使用 describe() 方法查看其描述信息。 describe() 统计了每列数据的个数、最大值、最小值、平均数等信息。 

同样，我们将目标值单独拿出来。训练一个机器学习预测模型时，我们通常会将数据集划分为 70% 和 30% 两部分。

其中，70% 的部分被称之为训练集，用于模型训练。例如，这里的线性回归，就是从训练集中找到最佳拟合参数 w 的值。另外的 30% 被称为测试集。对于测试集而言，首先我们知道它对应的真实目标值，然后可以给学习完成的模型输入测试集中的特征，得到预测目标值。最后，通过对比预测的目标值与真实目标值之间的差异，评估模型的预测性能。 

上图就是一个简单的机器学习模型训练流程。接下来，我们针对数据集的特征和目标进行分割，分别得到 70% 的训练集和 30% 的测试集。其中，训练集特征、训练集目标、测试集特征和测试集目标分别定义为：X_train, y_train, X_test, y_test。

target = df['medv']  # 目标值数据split_num = int(len(features)*0.7)  # 得到 70% 位置X_train = features[:split_num]  # 训练集特征
y_train = target[:split_num]  # 训练集目标X_test = features[split_num:]  # 测试集特征
y_test = target[split_num:]  # 测试集目标

构建和训练模型

划分完数据集之后，就可以构建并训练模型。同样，这里要用到 LinearRegression() 类。对于该类的参数就不再重复介绍了。

model = LinearRegression()  # 建立模型
model.fit(X_train, y_train)  # 训练模型
model.coef_, model.intercept_  # 输出训练后的模型参数和截距项

 上面的单元格中，我们输出了线性回归模型的拟合参数。也就是最终的拟合线性函数近似为：

medv=0.6998⋅crim+10.1356⋅rm−0.2053⋅lstat−38.0010

其中，x1​, x2​, x3​ 分别对应数据集中 CRIM, RM 和 LSTAT 列。接下来，向训练好的模型中输入测试集的特征得到预测值。

preds = model.predict(X_test)  # 输入测试集特征进行预测
preds  # 预测结果

对于回归预测结果，通常会有平均绝对误差、平均绝对百分比误差、均方误差等多个指标进行评价。这里，我们先介绍两个：

平均绝对误差（MAE）就是绝对误差的平均值，它的计算公式如下： 

其中，yi 表示真实值，y^i​ 表示预测值，n 则表示值的个数。MAE 的值越小，说明模型拥有更好的拟合程度。我们可以尝试使用 Python 实现 MAE 计算函数： 

def mae_value(y_true, y_pred):n = len(y_true)mae = sum(np.abs(y_true - y_pred))/nreturn mae

均方误差（MSE）它表示误差的平方的期望值，它的计算公式如下： 

其中，yi 表示真实值，y^​i​ 表示预测值，n 则表示值的个数。MSE 的值越小，说明预测模型拥有更好的精确度。同样，我们可以尝试使用 Python 实现 MSE 计算函数： 

def mse_value(y_true, y_pred):n = len(y_true)mse = sum(np.square(y_true - y_pred))/nreturn mse

于是，我们可以计算出上面模型的平均指标，即预测结果的 MSE 和 MAE 值：

mae = mae_value(y_test.values, preds)
mse = mse_value(y_test.values, preds)print("MAE: ", mae)
print("MSE: ", mse)

这主要是因为我们没有针对数据进行预处理。上面的实验中，我们随机选择了 3 个特征，并没有合理利用数据集提供的其他特征。除此之外，也没有针对异常数据进行剔除以及规范化处理。

当然，掌握好线性回归的原理和实现方法，才是本次实验内容的重点。

总结

在本文中，我们从线性回归原理入手，学习了最小二乘法的两种求解方法，并针对线性回归算法进行了完整实现。在这个过程中，你了解到了机器学习的训练和预测流程，以及背后的数学思想。

总结而来，一个机器学习过程往往包含训练和预测两部分，训练好的模型可用于对未知数据的预测。而训练模型的过程，实际上是应用机器学习算法解决问题的过程。其中，我们通常会定义一个损失函数（平方损失函数），并使用一种数学优化方法（最小二乘法）去求解该损失函数的最优解。这个思想将始终贯穿于机器学习之中。