随机化算法

随机算法的随机性（基本特征）

– 对于同一实例的多次执行, 效果可能完全不同

– 时间复杂性的一个随机变量

– 解的正确性和准确性也是随机的

数值随机化算法

随机数值算法

– 主要用于数值问题求解

– 算法的输出往往是近似解

– 近似解的精确度与算法执行时间成正比

案例一 近似计算圆周率

用随机投点法近似计算圆周率

– 向方框内随机掷点$x=r(0,1), y=r(0,1) $

– 落在圆内概率$π/4 $

– 近似值 ≈ 圆内点数$c $/总点数$n$​,n越大，近似度越高

#include<iostream>
#include<random>
using namespace std;double moni(int n){random_device rd;mt19937 gen(rd());int k=0;for(int i=1;i<=n;i++){uniform_real_distribution<> dis(-1.0, 1.0);double x=dis(gen);double y=dis(gen);if(x*x+y*y<=1)k++;}return 4*k/double(n);
}
int n;
int main(){cin>>n;cout<<moni(n)<<endl;
}

经过对n的不同测试，得到的结果越来越精确，但是随着n数据规模的增大，算法执行时间增大，解的精确度也增大。

案例二计算定积分

同样是算法运行时间越长，得到的近似解越精确。

蒙特卡洛算法

Monte Carlo算法

– 主要用于求解需要准确解的问题

– 算法可能给出错误解

– 获得精确解概率与算法执行时间成正比

在实际应用中常会遇到一些问题，不论采用确定性算法或随机化算法都无法保证每次都能得到正确的解答。蒙特卡罗算法则在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。

设p是一个实数，且$1/2<p<1$。如果一个蒙特卡罗算法对于问题的任一实例得到正确解的概率不小于p，则称该蒙特卡罗算法是p正确的，且称$p-1/2$是该算法的优势。

如果对于同一实例，蒙特卡罗算法不会给出2个不同的正确解答，则称该蒙特卡罗算法是一致的。

对于一个一致的p正确蒙特卡罗算法，要提高获得正确解的概率，只要执行该算法若干次，并选择出现频次最高的解即可

有些蒙特卡罗算法除了具有描述问题实例的输入参数外，还具有描述错误解可接受概率的参数。这类算法的计算时间复杂性通常由问题的实例规模以及错误解可接受概率的函数来描述。

案例一主元素问题

设$T[1:n]$是一个含有n个元素的数组。当{i|T[i]=x}|>n/2时，称元素x是数组T的主元素

#include <iostream>
#include <random>
#include <cmath>
using namespace std;const int N = 1e6 + 1;
int n;
int a[N];bool majority(int n, int &num) {random_device rd;mt19937 gen(rd());uniform_int_distribution<> dis(0, n - 1);int id = dis(gen);num = a[id];int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (a[i] == num) k++;}return k > n / 2;
}bool majorityMC(int n, double e, int &num) {int k = ceil(log(1 / e) / log(2.0));for (int i = 0; i < k; i++) {if (majority(n, num)) {num = a[i]; // 这里需要更新num的值return true;}}return false;
}int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];double e = 0.001;int num;if (majorityMC(n, e, num))cout << "该数组的主元素为：" << num << endl;elsecout << "该数组没有主元素" << endl;
}

拉斯维加斯算法

一旦找到一个解, 该解一定是正确的

–找到解的概率与算法执行时间成正比

–增加对问题反复求解次数, 可使求解无效的概率任意小

它所作的随机性决策有可能导致算法找不到所需的解,但是找到一个解，这个解一定是正确的

设$p(x)$是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率，一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有$p(x)>0$。

针对该方程的解释，特别是$(e(x)+t(x))$部分

• 算法可能需要多次尝试才能成功，每次尝试都有一定的失败概率。
• 每次失败后，算法需要重新开始，这增加了额外的时间开销。
• 算法的平均运行时间取决于成功的概率 $p(x)$和失败后需要重新开始的次数。

案例一n后问题

舍伍德算法

–一定能够求得一个正确解

–确定算法的最坏与平均复杂性差别大时, 加入随机性, 即得到Sherwood算法

–消除最坏行为与特定实例的联系，消除最差情况和平均情况下的差异

#include <iostream>
#include <time.h> 
#include <stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;template<class Type>
Type select(Type a[], int n,int l, int r, int k){//左边界，右边界，第k位元素if(k<1||k>n){printf("Index out of bounds\n");exit(0);}n=n-1;while (true){if (l >= r)return a[l];//随机选择划分基准int i = l, j = l + rand() % (r - l + 1);//j选择为l到r的任意值[l,r]swap(a[i], a[j]);//与首元素交换位置j = r + 1;Type pivot = a[l];//以划分基准为轴做元素交换while (true){while (i<r&&a[++i] < pivot);while (j>l&&a[--j] > pivot);if (i >= j){break;}swap(a[i], a[j]);}//如果最后基准元素在第k个元素的位置，则找到了第k小的元素 if (j - l + 1 == k){return pivot;}	//a[j]必然小于pivot,做最后一次交换，满足左侧比pivot小，右侧比pivot大a[l] = a[j];a[j] = pivot;		//对子数组重复划分过程if (j - l + 1 < k){k = k - (j - l + 1);//基准元素右侧,求出相对位置 l = j + 1;}else{//基准元素左侧 r = j - 1;}}
}int main(){int n,k,r;while(cin>>n){cin>>k;int a[n];for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];r=select<int> (a,n,0,n-1,k);cout<<r<<endl;}return 0; 
}