1. 频率分辨率 ($F_{\text{res}}$)：

   • 频率分辨率$F_{\text{res}}$ 与采样周期$T$ 和采样点数$N$ 有关，公式为：
     $$F_{\text{res}}\sim \frac{1}{NT}[\text{Hz}]$$

2. 频率间隔 ($\Delta F$)：

   • 频率间隔$\Delta F$ 与采样周期$T$ 有关，公式为：
     $$\Delta F=N\Delta F_{\text{res}}=\frac{1}{T}=F_s[\text{Hz}]$$

3. 频率分辨率和频率间隔的关系：

   • 频率分辨率由观测时间的长度决定。
   • 频率间隔由采样周期决定。

4. 提高采样率的影响：

   • 增加采样率会扩展频率间隔。

5. 增加观测时间的影响：

   • 增加观测时间可以提高频率分辨率。

6. 零填充的影响：

   • 零填充不会改变频率分辨率，只会增加DFT的点数，从而使得频率轴上的点更密集。
   • 频率分辨率由观测时间的长度决定，零填充不会增加这个长度。

示例 (DFT 分辨率)

两个具有接近频率的复指数信号，频率分别为$F_1=10$Hz 和$F_2=12$Hz，采样间隔为$T=0.02$秒。考虑不同数据长度$L=10,15,30,100$，并进行零填充到 512 点。

$N=10$

DFT 使用$N=10$并进行零填充到 512 点。未分辨：$F_2-F_1=2$Hz$<1/(NT)=5$Hz。

• $N=10$: 数据长度为 10。
• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。
• 未分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，小于频率分辨率$1/(NT)$，即 5 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中无法分辨。

$N=15$

DFT 使用$N=15$并进行零填充到 512 点。未分辨：$F_2-F_1=2$Hz$<1/(NT)\approx 3.3$Hz。

• $N=15$: 数据长度为 15。
• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。
• 未分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，小于频率分辨率$1/(NT)$，即约 3.3 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中无法分辨。

$N=30$

DFT 使用$N=30$并进行零填充到 512 点。分辨：$F_2-F_1=2$Hz$>1/(NT)\approx 1.7$Hz。

• $N=30$: 数据长度为 30。
• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。
• 分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，大于频率分辨率$1/(NT)$，即约 1.7 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中可以分辨。

$N=100$

DFT 使用$N=100$并进行零填充到 512 点。分辨：$F_2-F_1=2$Hz$>1/(NT)=0.5$Hz。

• $N=100$: 数据长度为 100。
• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。
• 分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，大于频率分辨率$1/(NT)$，即 0.5 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中可以分辨。