Shader的涉及的数学知识总结

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着色器（Shader）编程广泛应用于计算机图形学中，用于实现各种视觉效果。编写高效的着色器需要扎实的数学基础，以下是着色器编程中常见的数学知识及其应用：

1. 向量代数

向量：表示具有大小和方向的量，常用于表示位置、速度、加速度、法线等。
向量运算：
- 加法和减法：用于计算物体之间的相对位置或移动。
- 标量乘法：改变向量的长度。
- 点积（Dot Product）：用于计算两个向量之间的夹角余弦值，常用于光照计算和投影。
- 叉积（Cross Product）：用于计算垂直于两个向量的第三个向量，常用于计算法线或旋转轴。

2. 矩阵代数

矩阵：用于表示线性变换，如平移、旋转、缩放等。
矩阵运算：
- 矩阵乘法：用于组合多个变换，例如将旋转和平移组合在一起。
- 逆矩阵：用于撤销变换，例如从世界空间转换回局部空间。
- 转置矩阵：用于处理正交矩阵的逆矩阵。

3. 坐标系变换

世界坐标系：全局坐标系，用于表示场景中物体的绝对位置。
视图坐标系：以摄像机为中心的坐标系，用于表示摄像机视角下的物体位置。
裁剪坐标系：用于将视图坐标系中的物体转换到标准化设备坐标系（NDC）。
屏幕坐标系：最终显示在屏幕上的坐标系，用于确定像素位置。

4. 光照模型

Phong光照模型：
- 环境光（Ambient Light）：模拟环境中散射的光线，提供均匀的光照效果。
- 漫反射（Diffuse Reflection）：根据表面法线和光源方向计算漫反射强度。
- 镜面反射（Specular Reflection）：根据观察者方向、表面法线和光源方向计算高光效果。
Blinn-Phong光照模型：改进的Phong模型，使用半角向量（Half Vector）来简化镜面反射计算。

5. 颜色和光照

颜色模型：常用的颜色模型包括RGB、HSV等。
光照计算：使用点积和向量运算计算光照强度，考虑光源颜色、表面颜色和材质属性。

6. 纹理映射

纹理坐标：用于将纹理贴图映射到3D模型的表面上。
纹理采样：从纹理贴图中获取颜色值，常用的方法包括最近邻插值和双线性插值。

7. 曲面几何

参数化曲面：用于表示复杂的几何形状，如贝塞尔曲线和B样条曲线。
曲面法线：用于计算曲面上每一点的法线方向，常用于光照计算。

8. 噪声函数

Perlin噪声：用于生成自然纹理，如地形、云彩等。
Simplex噪声：改进的Perlin噪声，计算效率更高。

9. 投影变换

正交投影：将3D空间中的物体投影到2D平面上，保留平行关系。
透视投影：模拟人眼的视觉效果，远处的物体看起来更小。

10. 混合模式

Alpha混合：用于透明效果，根据透明度值混合源颜色和目标颜色。
颜色混合：用于实现各种混合效果，如叠加、相乘等。

11. 四元数

四元数：用于表示旋转，避免万向锁问题，常用于相机和物体的旋转计算。

12. 泰森多边形（Voronoi Diagram）

泰森多边形：用于生成基于距离的区域划分，常用于纹理生成和地形建模。

13. 波动方程

波动方程：用于模拟水面波纹、布料运动等物理现象。

示例代码

以下是一个简单的顶点着色器和片段着色器示例，展示了如何使用向量和矩阵进行变换和光照计算：

顶点着色器（Vertex Shader）

#version 330 corelayout(location = 0) in vec3 position;
layout(location = 1) in vec3 normal;uniform mat4 model;
uniform mat4 view;
uniform mat4 projection;out vec3 fragNormal;
out vec3 fragPosition;void main() {gl_Position = projection * view * model * vec4(position, 1.0);fragPosition = vec3(model * vec4(position, 1.0));fragNormal = mat3(transpose(inverse(model))) * normal;
}

片段着色器（Fragment Shader）

#version 330 corein vec3 fragNormal;
in vec3 fragPosition;uniform vec3 lightPosition;
uniform vec3 lightColor;
uniform vec3 objectColor;out vec4 FragColor;void main() {// 计算光照vec3 norm = normalize(fragNormal);vec3 lightDir = normalize(lightPosition - fragPosition);float diff = max(dot(norm, lightDir), 0.0);vec3 diffuse = diff * lightColor;// 计算最终颜色vec3 result = (diffuse + vec3(0.1)) * objectColor;FragColor = vec4(result, 1.0);
}

通过这些数学知识和编程技巧，可以实现丰富的视觉效果和高效的图形渲染。希望这些信息对你有所帮助！

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