1. 决策树原理

决策树是一种以树状结构进行决策和分类的监督学习算法，适用于分类和回归问题。它通过递归地将数据集分割成更小的子集，最终生成一个类似于树状的模型。

决策树的构建流程

1. 特征选择：

   • 决策树选择某个特征对数据集进行分割，找到能够最优划分数据的特征。常用的分裂标准包括：
     • 信息增益（ID3算法）
     • 信息增益比（C4.5算法）
     • 基尼指数（CART算法）

2. 数据分裂：

   • 按照选择的特征，将数据集分割成若干子集。

3. 递归构建：

   • 对每个子集重复上述步骤，直到满足停止条件（如节点纯度达到某个阈值或节点样本数不足）。

4. 终止条件：

   • 达到树的最大深度。
   • 节点中的样本数低于最小分割数。
   • 分裂后的增益低于某个阈值。

2. 案例

一个小型分类数据集，目标是预测是否买票：

其它特征	天气	是否买票
…	晴天	否
…	阴天	是
…	雨天	否
…	晴天	是
…	阴天	是
…	雨天	否

步骤 1：计算当前节点的熵

熵公式：

$$H(D)=-\sum _{k=1}^K{p}_k{\log }_2{p}_k$$​

• D 为当前数据集；
• K为类别数量；
• pk为类别 k 的概率。

当前数据集中：

• P(买票)=3 / 6​=0.5；
• P(不买票)=3 / 6​=0.5。

熵为：

$$H(D)=-(0.5{\log }_{2}0.5+0.5{\log }_{2}0.5)=-(0.5\times -1+0.5\times -1)=1$$

步骤 2：对每个特征计算分裂后的熵

以特征“天气”为例，取值为“晴天”“阴天”“雨天”。根据此特征分裂数据集：

(1) 按“天气”分裂数据集

分裂结果为：

• “晴天”：{否, 是}
• “阴天”：{是, 是}
• “雨天”：{否, 否}

分别计算每个子集的条件熵：

• 晴天：
  $$H(\text{晴天})=-(0.5{\log }_{2}0.5+0.5{\log }_{2}0.5)=1$$
• 阴天：
  $$H(\text{阴天})=-(1{\log }_{2}1+0{\log }_{2}0)=0$$
• 雨天：
  $$H(\text{雨天})=-(0{\log }_{2}0+1{\log }_{2}1)=0$$

(2) 计算分裂后的加权熵

加权熵公式：

$$H_{\text{split}}(D)=\sum _{v=1}^V\frac{|D_v|}{|D|}H(D_v)$$

• |D_v| 为分裂后子集的大小；
• H(D_v) 为子集的熵。

加权熵：

$$Hsplit(D)=\frac{2}{6}H(晴天)+\frac{2}{6}H(阴天)+\frac{2}{6}H(雨天)=\frac{2}{6}\times 1+\frac{2}{6}\times 0+\frac{2}{6}\times 0=\frac{2}{6}=0.333$$

步骤 3：计算分裂依据

信息增益

计算以天气作为节点进行分裂的信息增益：

$$\text{信息增益}(节点=天气)=H(D)-H_{\text{split}}(D)=1-0.333=0.667$$

信息增益率

计算以天气作为节点进行分裂的信息增益率：

定义固有值（Split Information）固有值是衡量分裂结果的复杂性，计算公式为：

$$\text{固有值 (SplitInfo)}=-\sum _{v=1}^V\frac{|D_v|}{|D|}{\log }_2\frac{|D_v|}{|D|}$$

• |D_v|：特征值 v 的样本数量；
• |D|：总样本数量；
• V：特征取值的数量。

$$信息增益率(GainRatio)=\frac{信息增益(Gain)}{固有值(SplitInfo)}=\frac{0.667}{-(\frac{2}{6}\times lo{g}_2\frac{2}{6}+\frac{2}{6}\times lo{g}_2\frac{2}{6}+\frac{2}{6}\times lo{g}_2\frac{2}{6})}\approx 1.26$$

GINI系数（二叉树）

计算以天气作为节点进行分裂的GINI系数：
节点的 Gini 系数：

$$G(D)=\sum _{k=1}^K{p}_k(1-p_k)=(0.5^2+0.5^2)=0.5$$​

• K：类别数量；
• p_k​：类别 k 的样本比例。

分裂后的加权 Gini 系数：

$$G(晴天)=0.5^2+0.5^2=0.5$$
$$G(阴天)=1\times 0+0\times 1=0$$
$$G(雨天)=0\times 1+1\times 0=0$$
$$G_{\text{split}}(D)=\sum _{v=1}^V\frac{|D_v|}{|D|}G(D_v)=\frac{2}{6}\times 0.5+\frac{2}{6}\times 0+\frac{2}{6}\times 0\approx 0.167$$

• V：特征的取值数量；
• |D_v|：分裂后每个子集的样本数量；
• G(D_v)：子集的 Gini 系数。

$$\text{GINI系数}(节点=天气)=G(D)-G_{\text{split}}(D)=0.5-0.167=0.333$$

步骤 4：选择分裂节点

选择分裂评估指标中值最高的特征作为节点进行分裂

以天气特征为例，会从根节点分裂出三个子节点：A1($D_{\text{晴天}}$)​、A2($D_{\text{阴天}}$)​、A3($D_{\text{雨天}}$)​

对子节点 A1​、A2​、A3​​ 逐一检查是否需要继续分裂：

停止条件

1. 数据集中所有样本的类别相同

   • 如果 $D_{\text{节点}}$​ 中的样本全为“是”或“否”，则该节点不再分裂，设为叶节点，标记类别。
   • 如：节点 A2 的数据集中样本全为“是”，直接将其标记为“是”。

2. 没有可用的分裂特征

   • 如果所有候选特征都已用完，则取数据集中的多数类作为叶节点类别。

3. 数据集为空

   • 如果子节点对应的数据集为空（如：某特征值下没有样本），则设置该节点为叶节点，类别标记为父节点中样本的多数类。

继续分裂

• 如果未满足上述停止条件，则递归对子节点执行相同的分裂过程。

示例

1. 初始数据按“天气”分裂，生成子节点 A1（晴天）、A2（阴天）、A3（雨天）。
2. 检查子节点：
   • $D_{\text{晴天}}$​：包含两类，继续分裂；
   • $D_{\text{阴天}}$​：全为“是”，设为叶节点；
   • $D_{\text{雨天}}$：全为“否”，设为叶节点。
3. 对 $D_{\text{晴天}}$​​ 再选特征继续分裂。

通过递归，最终生成完整的决策树。

步骤 5：剪枝

剪枝是减少决策树复杂度、提升泛化能力的重要方法。剪枝分为 预剪枝（Pre-pruning） 和 后剪枝（Post-pruning）。以下是剪枝的一个具体示例：

示例数据集

天气	温度	是否刮风	湿度	是否买票
晴天	高	是	高	否
晴天	高	是	高	否
阴天	低	否	高	是
阴天	中	否	中	是
雨天	低	是	高	否
雨天	低	否	中	是

生成的决策树

初始决策树为：

1. 预剪枝

预剪枝的思想：在分裂节点前，提前评估分裂是否有意义。如果分裂不能显著提高决策树性能，则阻止分裂。

过程

1. 节点 1：是否刮风？

   • 在当前节点分裂前，计算 信息增益 或 Gini 系数减少量。
   • 如果分裂的增益不足（例如小于设定阈值 0.1），则阻止分裂，直接将当前节点作为叶节点。

2. 假设分裂后的性能提升不明显：

   • 不再继续分裂。
   • 节点 1 直接成为叶节点，类别标记为“否”（因数据集中“否”的样本更多）。

结果树

节点1：叶子节点 -> 否

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2. 后剪枝

后剪枝的思想：先生成完整决策树，再通过后序遍历判断是否需要剪掉子树，用叶节点代替。

过程

1. 从叶节点往上回溯，逐个评估子树是否需要剪枝。

2. 节点 2：天气？

   • 子树分类结果：
     • 晴天 -> 否
     • 雨天 -> 否
   • 两个叶子节点的类别相同，且整棵子树的分类错误率与将节点 2 直接作为叶节点的错误率相同。
   • 剪枝策略：将节点 2 直接替换为叶节点“否”。

3. 节点 3：湿度？

   • 子树分类结果：
     • 高 -> 是
     • 中 -> 是
   • 两个叶子节点的类别相同，且整棵子树的分类错误率与将节点 3 直接作为叶节点的错误率相同。
   • 剪枝策略：将节点 3 直接替换为叶节点“是”。

**结果树

节点1：是否刮风？ ├── 是 -> 叶子1：否 └── 否 -> 叶子2：是

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剪枝的效果

1. 模型简化：剪枝后，树结构更简单，更易于理解。
2. 泛化能力提升：剪枝减少了对训练集的过拟合，提升了模型在测试集上的性能。

对比

• 原始树错误率：假设在测试集上的错误率为 15%。
• 剪枝后错误率：测试集错误率下降到 10%，显示模型的泛化性能提升。