【算法设计与分析实训】第1关:求序列的最大字段和

务描述
本关任务:编写用动态规划解决最大字段和问题。

相关知识
为了完成本关任务,你需要掌握:动态规划。

编程要求
给定由n个整数(可能为负数)组成的序列:a1,a2,……,an, 求该序列的最大子段和。当所有整数均为负数,定义其最大子段和为0。

解题思路:
定义b[j]=max(a[i]+a[i+1]+…+a[j]),其中1<=i<=j,并且1<=j<=n。那么所求的最大子段和可以表示为max b[j],1<=j<=n。
由b[j]的定义可知,当b[j−1]>0时b[j]=b[j−1]+a[j],否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归表达式为:
b[j]=max(b[j−1]+a[j],a[j]),1<=j<=n。

测试说明
平台会对你编写的代码进行测试:

测试输入:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出示例:

20

开始你的任务吧,祝你成功!

package step1;
import java.util.Scanner;public class MaxSubSum{public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 读取第一个整数N,表示数组的长度int n = scanner.nextInt();// 创建两个整型数组,a用于存储输入的整数,b用于动态规划存储的中间结果,int[] a = new int[n + 1];int[] b = new int[n + 1];// 初始数组第0个元素为0a[0] = 0;b[0] = 0;// 读取n个整数,存入数组a中for (int i = 1; i < n + 1; i++) {//小于10a[i] = scanner.nextInt();}// 关闭scanner对象scanner.close();// 初始化最大子数组和为0int maxnum = 0;// 动态规划计算最大子数组的和for (int i = 1; i <= n; i++) {//这个地方的等于9b[i] = max(b[i - 1] + a[i], a[i]);// 更新全局最大子数组的和maxnum = max(maxnum,b[i]);}// 输出最大子数组的和System.out.println(maxnum);}// 辅助private static int max(int x, int y) {if (x >= y) {return x;}return y;}
}

具体解释

这段代码是用来解决“最大子数组和”问题的,常见的动态规划问题。题目要求找到一个连续子数组,使得这个子数组的元素之和最大。你给出的代码实现了这个算法,并使用了动态规划的思想来解决。

代码步骤解释

  1. 输入处理

    • 代码首先从输入中读取一个整数 n,表示数组的长度。
    • 然后,创建了两个数组 ab,它们的大小都为 n + 1,并初始化了这两个数组的第一个元素 a[0]b[0] 为 0。
    • 数组 a 用于存储输入的整数(即题目给定的数组)。
    • 数组 b 用来存储动态规划计算的中间结果,表示以某个元素结尾的最大子数组和。
  2. 填充输入数据

    • 程序通过 for 循环读取接下来的 n 个整数,填充到数组 a 中。
  3. 动态规划计算

    • 程序使用动态规划来计算最大子数组和。b[i] 表示以 a[i] 这个元素结尾的子数组的最大和。
    • 对于每个 ib[i] 是由以下两者中的较大值决定的:
      • b[i - 1] + a[i]:表示将当前元素 a[i] 加入到前面子数组的和中,形成一个新的子数组。
      • a[i]:表示以当前元素 a[i] 开始一个新的子数组。
    • 动态规划的核心思想就是选择这两个中的最大值,确保我们在每一步都得到最大的子数组和。
  4. 更新最大值

    • 每次计算出 b[i] 后,程序更新一个变量 maxnum,记录迄今为止的最大子数组和。
  5. 输出结果

    • 最终,程序输出 maxnum,即最大子数组的和。

辅助方法 max(int x, int y)

这个方法简单地返回 xy 中较大的那个值,用于在动态规划过程中选择更新 b[i]maxnum 时用到。

代码运行实例:

假设我们输入如下数据:

n = 5
数组 =  -2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4

步骤解析

  1. 输入数组a = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]

    在这里,我们将 a[0] 设为 0,所以实际存储的数组 a 为:

    a = [0, -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
    
  2. 初始化 b 数组b = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

  3. 计算 b 数组并更新 maxnum

    • i = 1
      b[1] = max(b[0] + a[1], a[1]) = max(0 + (-2), -2) = -2
      maxnum = max(maxnum, b[1]) = max(0, -2) = 0

    • i = 2
      b[2] = max(b[1] + a[2], a[2]) = max(-2 + 1, 1) = 1
      maxnum = max(maxnum, b[2]) = max(0, 1) = 1

    • i = 3
      b[3] = max(b[2] + a[3], a[3]) = max(1 + (-3), -3) = -2
      maxnum = max(maxnum, b[3]) = max(1, -2) = 1

    • i = 4
      b[4] = max(b[3] + a[4], a[4]) = max(-2 + 4, 4) = 4
      maxnum = max(maxnum, b[4]) = max(1, 4) = 4

    • i = 5
      b[5] = max(b[4] + a[5], a[5]) = max(4 + (-1), -1) = 3
      maxnum = max(maxnum, b[5]) = max(4, 3) = 4

    • i = 6
      b[6] = max(b[5] + a[6], a[6]) = max(3 + 2, 2) = 5
      maxnum = max(maxnum, b[6]) = max(4, 5) = 5

    • i = 7
      b[7] = max(b[6] + a[7], a[7]) = max(5 + 1, 1) = 6
      maxnum = max(maxnum, b[7]) = max(5, 6) = 6

    • i = 8
      b[8] = max(b[7] + a[8], a[8]) = max(6 + (-5), -5) = 1
      maxnum = max(maxnum, b[8]) = max(6, 1) = 6

    • i = 9
      b[9] = max(b[8] + a[9], a[9]) = max(1 + 4, 4) = 5
      maxnum = max(maxnum, b[9]) = max(6, 5) = 6

  4. 输出结果

    • 最终的最大子数组和 maxnum6,所以程序会输出 6

总结

这个算法通过动态规划方法,通过迭代每个元素来更新当前的最大子数组和。时间复杂度是 O(n),其中 n 是数组的长度,因为我们只需要遍历一遍数组来计算最大子数组和。

深度解析举例

这段代码实现了一个经典的算法——最大子数组和问题(Maximum Subarray Problem)。具体来说,给定一个整数数组,找出其中连续子数组的最大和。这个问题可以通过动态规划来解决。

代码解释

  1. 导入Scanner类

    import java.util.Scanner;
    

    这行代码引入了Java标准库中的Scanner类,用于从控制台读取用户输入。

  2. 定义主类MaxSubSum

    public class MaxSubSum {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    

    定义了一个名为MaxSubSum的公共类,并在其内部定义了main方法作为程序入口点。同时创建了一个Scanner对象用于读取用户输入。

  3. 读取数组长度及初始化数组

            int n = scanner.nextInt();int[] a = new int[n + 1];int[] b = new int[n + 1];a[0] = 0;b[0] = 0;
    

    用户首先输入一个整数n,表示接下来要输入的整数数量。然后创建两个大小为n+1的整型数组ab。数组a用于存储用户输入的整数,而数组b则用于存储动态规划过程中计算得到的中间结果。这里将这两个数组的第一个元素初始化为0。

  4. 读取用户输入的整数并存入数组a中

            for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = scanner.nextInt();}scanner.close();
    

    使用for循环依次读取n个整数,并将其存入数组a中。最后关闭scanner对象以释放资源。

  5. 动态规划计算最大子数组和

            int maxnum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {b[i] = Math.max(b[i - 1] + a[i], a[i]);maxnum = Math.max(maxnum, b[i]);}
    

    初始化变量maxnum为0,用于记录当前找到的最大子数组和。通过遍历数组a,利用动态规划的思想更新数组b,使得b[i]表示以第i个元素结尾的最大子数组和。每次更新完b[i]后,检查是否需要更新全局最大值maxnum

  6. 输出结果

            System.out.println(maxnum);}private static int max(int x, int y) {if (x >= y) {return x;}return y;}
    }
    

    最后,程序输出全局最大子数组和maxnum。此外还定义了一个辅助函数max,用于比较两个整数并返回较大者。不过实际上,在上述代码中已经使用了Math.max()函数替代了这个自定义的max函数,因此该函数并未被调用。

实例

假设用户输入如下数据:

5
-2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4

程序执行过程如下:

  1. n=5,即接下来会输入5个整数。
  2. 输入的整数分别为:-2, 1, -3, 4, -1
  3. 动态规划计算最大子数组和的过程如下表所示:
ia[i]b[i] = max(b[i-1]+a[i], a[i])maxnum
1-2max(0±2, -2)-2
21max(-2+1, 1)1
3-3max(1±3, -3)1
44max(1+4, 4)5
5-1max(5±1, -1)5

最终,程序输出的结果是5,这对应于原数组中的子数组[4, -1, 2, 1]的最大和。

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