线性DP

题一 数字三角形

解题思路

三角形内的某个点，可以从这个点的左上方或右上方来到这个点，因此有状态转移方程：
f[i, j] = max(f[i - 1, j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j])

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 510;int f[N][N], a[N][N];int main()
{int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = 1; j <= i; j ++ ){scanf("%d", &a[i][j]);}}memset(f, -0x3f, sizeof f);//因为有负数的存在，所以需要初始化为负无穷，方便比大小取值f[1][1] = a[1][1];for (int i = 2; i <= n; i ++ ){for (int j = 1; j <= i; j ++ ){f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);}}int res = -1e9;for (int j = 1; j <= n; j ++ ){res = max(res, f[n][j]);}cout << res;return 0;
}

题二 最长上升子序列

解题思路

假设题目给出了n个数，这n个数存在了a[N]中：
其中f[i] 表示以a[i]为结尾的最长上升子序列的长度（位置也是独特的，假设a[N]中有多个相同的数，他们的f值也不一定相同！！），则如果现在在计算第i个数的f[i]值，且遍历到了第j个数(j <= i) 并且 a[i] > a[]则有f[i] = max(f[i], f[j] + 1);

PS：最好在纸上模拟一次下面代码中的实现， 能很好地理解这个思路

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int f[N], a[N];int main()
{int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){scanf("%d", &a[i]);}for (int i = 1; i <= n; i ++ ){f[i] = 1;//第i个数的f值至少为1， 因为这个上升序列至少包含第i个数本身for (int j = 1; j <= i; j ++ ){if (a[i] > a[j]){f[i] = max(f[i], f[j] + 1);}}}int res = -0x3f3f3f3f;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){res = max(res, f[i]);}cout << res;return 0;
}

区间DP

题目

解题思路

i是左端点， j是右端点， k是分界线，s[i]是石子堆的前缀和
当最后一步将从i到k的石子与从k + 1到j的石子合并时， 其代价为s[j] - s[i - 1]（前缀和）

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 310;
int f[N][N];
int s[N];int main()
{int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){scanf("%d", &s[i]);s[i] += s[i - 1];}for (int len = 2; len <= n; len ++ ){for (int i = 1; i + len - 1; i ++ ){int l = i, r = i + len - 1;f[l][r] = 0x3f3f3f3f;for (int k = i; k < r; k ++ ){f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);}}}cout << f[1][n];return 0;
}