Data Stream

• Streaming Model
• Example Streaming Questions
• Heavy Hitters
• Algorithm 1: For Majority element
• Misra Gries Algorithm
• Applications
• Approximation of count

Streaming Model 数据流模型

数据流就是所有的数据先后到达，而不是同时存储在内存之中。在现实中，数据流或者本身占用空间很大，或者数量很多，保存所有的数据流数据是不可能的。

因此，在数据流相关问题中，我们一般比较关注空间复杂度，也就是节省内存的做法。

本节课提到的数据流模型简单地用数字流来代表数据流，也就是说数据流中地每一个元素都是一个数。

Example Streaming Questions 经典数据流问题

我们假设每个数据需要 $b$ 位来存储，总共预计接收到 $t$ 个数据

1.维护接收到的所有数据的总和需要的位数

答案是$O(b+\log t)$。

为什么是这个答案呢？
一个数是 $b$ 位，$t$ 个数就是 $b+\log t$位。这个和十进制里面，十个一位数相加的结果一定是一个$1+\log 10=2$位数来表达一样。这就是这里为什么是元素个数取对数。
2. 维护收到的所有数据的最大值需要的位数

很明显答案是$O(b)$。

3.维护收到的所有数据的中位数需要的位数

这个问题似乎有点困难。因为中位数涉及到对于所有数据进行排序。但是也不是完全没办法，请参见下文算法。

Heavy Hitters 频繁项

给定项数 $n$ 和权重 $ϵ$ ，请你找到数据流中所有出现次数大于 $ϵn$ 的项。这就是数据流中的频繁项问题。我们如何在使用内存尽可能小的情况下解决这个问题呢？

Algorithm 1: For Majority element 主元算法

如果一个数据流中有一个数据的出现频率超过了0.5，那么这个数据就被叫做主元。我们可以先看看如何确定主元的算法，以便我们推广到频繁项。

可行的一个算法如下：
在内存中声明一个数k和一个计数器c.
初始化时，让k为空，让c为0.
每当数据 $a_i$ 到达时，循环执行如下操作：
如果 $c=0$ ,那么 $a_i\to k$, $1\to c$；
如果 $c\ne 0$ 且 $a_i\ne k$,那么$c--$；
如果 $c\ne 0$ 且 $a_i=k$ ,那么 $c++$；
循环执行该操作，执行完毕时的数k就可能是主元。

写成代码的形式如下：

    datatype a,k;int c=0;cin >> a;while(a){if(c==0){k=a;c=1;}else if (c>0 && a!=k){c--;}else {c++;}}

注意，这个算法得到的结果不一定是主元，但是这个数是最可能是主元的那一个。
下面我们证明：如果数据流有主元 $a_{main}$，那么主元一定是 $k$ 。

每次读入$a_{main}$时，要么 $k\ne a_{main},c--$ ,要么$k=a_{main},c++$ ;因为是主元，所以必定存在某个时刻使得 $k=a_{main}$,且因为 c++ 的次数大于 c-- 的次数，因此读入所有数据之后一定满足 $k=a_{main}$。

这个算法的主要思路是，由于我们寻找主元，而一个数据流中主元最多就一个，因此我们只需要记录那个可能出现次数过半的就可以了。如果有主元，那么这个数据
一定会被记录下来。但是我们不知道记录下来的是否一定是主元。即这是一个充分不必要条件：
$$有主元\Rightarrow k是主元$$

Misra Gries Algorithm MG算法

MG算法是上面算法的一个拓展，用于计算 $ϵ$ 频繁项。如果主元使用一个数来记录，那么最多可以有几个 $ϵ$ 频繁项开一个对应大小的数组就可以了。答案是$\lceil (\frac{1}{ϵ})\rceil -1$.为什么是这个数呢？ $ϵ$ 带入一下 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{1}{2}$ 就知道了。

我们声明一个数组 $T[k]$ 负责存储数据，数组 $C[k]$负责存储计数器，算法大同小异。其伪代码形式如下：

    datatype a,T[k];int C[k]={0};while(cin >> a){if(C[j]==0){T[j]=a;C[j]=1;}else if (C[j]!=0 && a!=T[j]){all C[j]--;}else if(a==T[j]){C[j]++;}}

Heavy Hitters Guarantee

为什么MG算法可以保证找出所有的频繁项呢？证明方法也是和上面的算法一样。

我们在此证明：
$$0\le coun{t}_t(e)-es{t}_t(e)\le \frac{n}{k}+1\le ϵ\cdot n$$
其中$coun{t}_t(e)$是某个元素$e$实际出现的次数，$es{t}_t(e)$是指该元素的计数器次数。

等式的左边不难证明，因为我们要在实际接收到一个相同元素之后才会把计数器+1，因此实际次数-计数器次数一定大于0

等式的右边是因为每次所有计数器-1的操作都至少需要k次单个计数器+1的操作，因此减少所有计数器的操作最多只有 $\frac{n}{k+1}$ 次。

那么对于频繁项， $coun{t}_t(e)>ϵ\cdot n$，而又有 $coun{t}_t(e)-es{t}_t(e)\le ϵ\cdot n$，因此$es{t}_t(e)>0$，也就是所有的频繁项一定会在列表之中。注意，所有的频繁项一定在列表之中不代表列表中的所有项都是频繁项。

Space Complexity 空间复杂度

MG算法的空间复杂度就是两个数组的空间复杂度：
$$O(k(\log |\Sigma |+\log n))bits$$
两个数组的长度都是$k$，数据数组每个元素需要$\log |\Sigma |$位来存储（表示数据的范围），计数器数组每隔元素需要$\log n$位来存储（表示从0到n）。

Applications

1. Internet router may want to figure out which IP connections are heavy hitters, e.g., the ones that use more than 0.01% of your bandwidth.（寻找网络中哪些IP地址是常被访问的）

2. Or the median of the file sizes being transferred.（文件大小的中位数）