【C++动态规划 01背包】2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数

本文涉及知识点

C++动态规划
C++背包问题

LeetCode2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数

给你两个正整数 n 和 x 。
请你返回将 n 表示成一些互不相同正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说，你需要返回互不相同整数 [n1, n2, …, nk] 的集合数目，满足 n = n1x + n2x + … + nkx 。
由于答案可能非常大，请你将它对 10⁹ + 7 取余后返回。
比方说，n = 160 且 x = 3 ，一个表示 n 的方法是 n = 23 + 33 + 53 。
示例 1：
输入：n = 10, x = 2
输出：1
解释：我们可以将 n 表示为：n = 32 + 12 = 10 。
这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。
示例 2：
输入：n = 4, x = 1
输出：2
解释：我们可以将 n 按以下方案表示：

n = 41 = 4 。
n = 31 + 11 = 4 。
提示：
1 <= n <= 300
1 <= x <= 5

动态规划之01背包

本问题 $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \iif at position 1: \̲i̲i̲f̲$ i号背包的容量为i^x，求容量为n的方案数。由于x >=1，如果i1 > N，则i1^x >N。故不需要尝试i1号背包。空间复杂度：O(NN)

动态规划的状态表示

dp[i][n]表示[1…i]号背包容量为n的方案数。

动态规划的转移方程

枚举i号背包是否选取
cur = dp[i] pre=dp[i-1]
cur = pre 不需要i号背包
cur[n+i^x] += pre[n]
时间复杂度：O(nnn)

动态规划的填报顺序

i = 1 to （i^x<=n）

动态规划的初始值

dp[0][0]=1，其它全为0。

动态规划的返回值

dp.back().back()

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {public:int numberOfWays(int n, int x) {vector<vector<C1097Int<>>> dp(n + 1, vector<C1097Int<>>(n + 1));dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1];for (int j = 0; j <= n; j++) {double d = 0.5 + pow(i, x);if (d > INT_MAX)continue;const auto sum = j + (int)d;if (sum > n) { continue; }dp[i][sum] += dp[i - 1][j];}}return dp.back().back().ToInt();}};

核心代码

int n,x;TEST_METHOD(TestMethod11){n = 10, x = 2;auto res = Solution().numberOfWays(n, x);AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){n = 4, x = 1;auto res = Solution().numberOfWays(n, x);AssertEx(2, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){n = 74, x = 5;auto res = Solution().numberOfWays(n, x);AssertEx(0, res);}

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