文章目录
- 电机控制专题(二)——Sensorless之扩展反电动势EEMF
- 前言
- 理论推导
- 仿真验证
- 总结
- 参考文献
电机控制专题(二)——Sensorless之扩展反电动势EEMF
前言
总结下电机控制中的扩展反电动势模型。
纯小白，如有不当，轻喷，还请指出。
在得出EEMF(Extended Electromotive Force)之前，有必要先从一个不具有凸机效应的表贴式永磁同步电机Suface Mounted Permanet Machine(SPM)的模型入手。
SPM在两相静止坐标系下的数学模型可表示为
[ v α v β ] = [ R + p L 0 0 R + p L ] [ i α i β ] + ω r e ψ f [ − sin θ r e cos θ r e ] \begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL&0\\0&R+pL\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}+\omega_{re}\psi_f\begin{bmatrix}-\sin\theta_{re}\\\cos\theta_{re}\end{bmatrix} [vαvβ]=[R+pL00R+pL][iαiβ]+ωreψf[−sinθrecosθre]（1）
其中 v α β v_{\alpha\beta} vαβ为 α β \alpha\beta αβ轴电压分量， i α β i_{\alpha\beta} iαβ为 α β \alpha\beta αβ轴电流分量， R , L , ω r e , ψ f R,L,\omega_{re},\psi_f R,L,ωre,ψf分别为电机的电阻、电感、电角速度和永磁体基波磁链幅值， p p p是微分算子。
式(1)说明，通过测量 v α β v_{\alpha\beta} vαβ， i α β i_{\alpha\beta} iαβ，即可算出 α β \alpha\beta αβ轴的反电势，即式(1)等号右边的第二项。而反电势包含有转子位置信息，因此可以通过反正切或者锁相环PLL等算法提取得到电机的电角度和转速，从而实现无位置传感器Sensorless控制。
上述的SPM的基于反电动势的无感控制算法看上去还挺简单的对吧，但当电机是一个具有凸极效应的内置式永磁电机Interior Permanent Machine(IPM)的时候，情况又是怎样的呢？
IPM在两相静止坐标系下的数学模型如下：
[ v α v β ] = [ R + p L α p L α β p L α β R + p L β ] [ i α i β ] + ω r e ψ f [ − sin θ r e cos θ r e ] \begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL_\alpha&pL_{\alpha\beta}\\pL_{\alpha\beta}&R+pL_\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}+\omega_{re}\psi_f\begin{bmatrix}-\sin\theta_{re}\\\cos\theta_{re}\end{bmatrix} [vαvβ]=[R+pLαpLαβpLαβR+pLβ][iαiβ]+ωreψf[−sinθrecosθre]（2）
L α = L 0 + L 1 cos 2 θ r e L β = L 0 − L 1 cos 2 θ r e L α β = L 1 sin 2 θ r e L 0 = ( L d + L q ) 2 L 1 = ( L d − L q ) 2 . \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{aligned} L_{\alpha}=& L_0+L_1\cos2\theta_{re} \\ L_{\beta}=& L_0-L_1\cos2\theta_{re} \\ L_{\alpha\beta}=& L_1\sin2\theta_{re} \\ L_0=& \begin{aligned}\frac{(L_d+L_q)}{2}\end{aligned} \\ L_{1}=& \begin{aligned}\frac{(L_d-L_q)}{2}.\end{aligned} \end{aligned} Lα=Lβ=Lαβ=L0=L1=L0+L1cos2θreL0−L1cos2θreL1sin2θre2(Ld+Lq)2(Ld−Lq).
其中 L d , L q L_d,L_q Ld,Lq为dq轴电感， θ r e \theta_{re} θre是电角度。
式(2)说明，当电机是一个IPM时，转子位置信息不仅位于反电动势中，还耦合在电感矩阵中，但由于转子位置位置，因此电感矩阵也是未知的，不能算出正确的反电动势。
到这里读者应该可以发现了，同样都出于计算电机反电动势来实现无感控制的目的，但却只适用于SPM，那未免也太鸡肋了。所以EEMF概念的提出就是为了将SPM和IPM的基于反电动势无感算法统一起来，在这个EEMF模型下，对SPM和IPM都适用，是一个通用的交流电机无感控制算法。
理论推导
IPM在dq坐标系下的数学模型为
[ v d v q ] = [ R + p L d − ω r e L q ω r e L d R + p L q ] [ i d i q ] + [ 0 ω r e ψ f ] \begin{bmatrix}v_d\\v_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL_d&-\omega_{re}L_q\\\omega_{re}L_d&R+pL_q\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\\omega_{re}\psi_f\end{bmatrix} [vdvq]=[R+pLdωreLd−ωreLqR+pLq][idiq]+[0ωreψf]（3）
重写式(3)中的电感矩阵和旋转反电势项，得到
[ v α v β ] = [ R + p L d ω r e ( L d − L q ) − ω r e ( L d − L q ) R + p L d ] [ i α i β ] + { ( L d − L q ) ( ω r e i d − i q ) + ω r e ψ f } [ − sin θ r e cos θ r e ] \begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL_d&\omega_{re}(L_d-L_q)\\-\omega_{re}(L_d-L_q)&R+pL_d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}\\+\big\{(L_d-L_q)(\omega_{re}i_d-i_q)+\omega_{re}\psi_f\big\}\left[\begin{array}{c}-\sin\theta_{re}\\\cos\theta_{re}\end{array}\right] [vαvβ]=[R+pLd−ωre(Ld−Lq)ωre(Ld−Lq)R+pLd][iαiβ]+{(Ld−Lq)(ωreid−iq)+ωreψf}[−sinθrecosθre]（4）
对式(4)进行反Park变化，得到两相静止坐标系下的数学模型
[ v α v β ] = [ R + p L d ω r e ( L d − L q ) − ω r e ( L d − L q ) R + p L d ] [ i α i β ] + { ( L d − L q ) ( ω r e i d − i ˙ q ) + ω r e ψ f } [ − sin θ r e cos θ r e ] \begin{bmatrix}v_\alpha\\v_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R+pL_d&\omega_{re}(L_d-L_q)\\-\omega_{re}(L_d-L_q)&R+pL_d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}\\+\{(L_d-L_q)(\omega_{re}i_d-\dot{i}_q)+\omega_{re}\psi_f\}\begin{bmatrix}-\sin\theta_{re}\\\cos\theta_{re}\end{bmatrix} [vαvβ]=[R+pLd−ωre(Ld−Lq)ωre(Ld−Lq)R+pLd][iαiβ]+{(Ld−Lq)(ωreid−i˙q)+ωreψf}[−sinθrecosθre]（5）
其中等式右侧的第二项即为扩展反电动势EEMF，可以看出，当 L d = L q L_d=L_q Ld=Lq，EEMF即SPM的反电动势，因此EEMF是交流电机反电动势的统一的表达式。
式(5)表明，经过等价变化以后，电感矩阵不在包含于转子位置信息，转子位置只包含在EEMF中。但代价是对角元出现了与转速相关的反电动势项，仍然也是未知的。但相较于式(2)，包含未知项的只有非对角元素了，本质上对模型也是有一定程度的简化。
因此通过式(5)计算得到EEMF，并设计合理的观测器PLL，估算电机的转速和角度，再反馈到式(5)中电感矩阵的非对角元素，即可使得最终估算的转速和角度收敛到真实值。
仿真验证
基于上述的EEMF模型，对一台IPM电机进行无感控制，相应的仿真参数设置如下
| 参数 | 值 |
|---|---|
| L d L_d Ld | 1.2mH |
| L q L_q Lq | 2.4mH |
| ψ f \psi_f ψf | 0.14Wb |
| U d c U_{dc} Udc | 200V |
由于反电动势与转速成正比，低转速情况下的反电动势，计算得到的反电动势误差较大，因此需要将电机开环拖动至较高转速，至转速及角度收敛以后再切入转速闭环。
设置电机空载启动0.12s后，切入闭环控制，控制转速为2000rpm，0.2s加载至5N·m，0.3s加速至3000rpm，仿真总时长0.4s。相应的仿真结果如下图所示。
仿真结果表明，应用EEMF能够对一台IPM实现转子速度及位置的估算。
总结
EEMF是IPM，以及SPM的反电动势的统一模型。不论是IPM还是SPM，都可以计算出含转子位置信息的EEMF，从而结合观测器提取转子转速以及转子角，实现无位置控制。
参考文献
[1] Chen Z, Tomita M, Doki S, et al. An extended electromotive force model for sensorless control of interior permanent-magnet synchronous motors[J/OL]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2003, 50(2): 288-295.
