要推导损失函数公式 $$\ell (\mathbf{\theta })=\frac{1}{2n}(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}{)}^{\top }(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y})$$，我们可以从几个基础概念开始。

1. 基本概念

• 预测值 $$\hat{\mathbf{y}}$$：由模型（例如线性回归模型）输出的预测结果。
• 真实值 $$\mathbf{y}$$：数据集中真实的目标变量值。
• 损失函数：衡量预测值与真实值之间差距的函数，用于评估模型的性能。

2. 欧几里得距离的平方

损失函数通常使用欧几里得距离来度量预测值与真实值之间的差异。欧几里得距离是两点之间的距离，可以用平方差表示。具体来说，对于所有的样本 (i)（1 到 (n)），我们有：

$$d_i={\hat{y}}_i-y_i$$

平方差为：

$$d_i^2=({\hat{y}}_i-y_i{)}^2$$

3. 总损失的计算

对于 (n) 个样本，整体的损失可以表示为所有样本的平方差之和，并取平均值：

$$\ell (\mathbf{\theta })=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-y_i{)}^2$$

4. 矩阵表示

我们可以将上面的公式用向量和矩阵的形式表达。设：

• $$\hat{\mathbf{y}}=[{\hat{y}}_1,{\hat{y}}_2,\dots ,{\hat{y}}_n{]}^{\top }$$为预测值的列向量。
• $$\mathbf{y}=[y_1,y_2,\dots ,y_n{]}^{\top }$$为真实值的列向量。

则预测值与真实值之间的差异 $$\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}$$也可以用向量表示：

$$\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}$$
接下来，整体损失可以重新表示为：

$$\ell (\mathbf{\theta })=\frac{1}{n}{\left(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}\right)}^{\top }\left(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}\right)$$

5. 引入$$\frac{1}{2}$$

为了使梯度更新计算更简便，损失函数常常会乘以$$\frac{1}{2}$$，这样在计算梯度时，平方根被消除。这导致我们的损失函数变为：

$$\ell (\mathbf{\theta })=\frac{1}{2n}{\left(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}\right)}^{\top }\left(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}\right)$$

6. 最终损失函数

最终，我们得到的损失函数为：

$$\ell (\mathbf{\theta })=\frac{1}{2n}(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}{)}^{\top }(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y})$$

总结

此损失函数是均方误差损失的一种形式，广泛应用于线性回归等模型中。通过这种方式，我们既可以有效地表示损失，也可以在模型优化时更容易计算梯度。