泊松分布

二项分布是离散性的分布，泊松分布是把二项分布取n趋于无穷得到的连续分布。也就是在一段时间内不停的观察某件事情发生的次数。

如：一个小时内观察一段路上经过行人的数目，如果每个半个小时观察一次，观察到行人经过的概率是p，那么观察到没有行人经过的概率就是1-p，观察到人的期望就是E(x)=np。这个期望是一直不变的。
如果观察的频率n提高，相应的p就会变小。当n趋于无穷的时候，就是在每时每刻都观察行人是否经过，就从离散的时刻观察变为了连续的时间内一直观察。

因此我们让二项分布的n趋于无穷来求泊松分布的分布率。由于n与p之间存在一定的关系，即E(x)=np不变，因此：


由于泊松分布是二项分布的极限值，因此当一个分布是二项分布，但是n非常大，p非常小的时候，可以直接套入泊松分布公式来近似估计二项分布的值。

泊松过程

由于泊松分布描述的是一段时间内事件发生X次的概率，其参数$\lambda$是根据经验得知的这段时间内发生该事件次数的期望。
但是泊松分布有一个限制，时间发生的时间段必须对应期望次数所在的时间段。
比如：根据以往的经验得知一年内某工厂电子元件发生故障的个数期望值为10个。那么根据泊松分布只能推断得知：一年内故障个数为X个的概率。而不可能知道半年内，或者一个月的概率。
所以将泊松分布加以推广，得到泊松过程。
泊松分布：

泊松过程：

泊松过程所要解决的问题可以表述为：某工厂运营一年，电子元件故障的个数期望为$\lambda =10$，记N(t)为这批电子元件在t年内发生故障的个数。
就是比泊松分布又多了一个时间维度，所以可以估计不只是该事件发生的那个时间维度之外的时间的事件发生次数的概率。
所以现在就可以得到t年内工厂有N(t)个元件故障的概率。
在t时间内没有元件故障 等价于 P[N(t)=0] 等价于 在t时间后才有元件故障
记Y为有远见发生了故障的时间


上面就是随机事件Y的分布函数，可以通过求导求得他的概率密度函数。可以看到这个就是一个指数分布。

所以泊松过程的时间轴是按照指数分布的，纵轴是泊松分布。