2024五一数学建模竞赛A题思路讲解

五一数学建模思路

具体思路如下：

提高钢板下料切割过程中的工作效率，是模具加工企业降低成本和增加经济效益的重要途径，其中钢板切割的路径规划是钢板切割过程的一个关键环节。
钢板切割就是使用特殊的切割技术，基于给定的下料切割布局图纸对钢板进行加工。切割过程中设计切割路径至关重要，最优切割路径要满足空程最短的原则。
注：(1) 空程是指在切割设备所进行的一系列操作中不产生切割效果的水平运动路径(垂直运动路径不计入空程)；(2) 本题默认切割起始点均为右下角点(见各图所示)；(3) 本题下料切割布局图中的实线均为切割线。
请查阅相关资料，完成下列四个切割任务N1~N4：

问题1：给定如图2所示的下料切割布局N1，其中B3-B4为钢板边界线，不用切割，B1为切割起始点。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

问题一思路

步骤一：定义问题参数和目标

1. 切割起始点：右下角点（B1）。

2. 目标：最小化空程总长度。

3. 切割线：确定所有必须经过的切割线段。

步骤二：识别关键切割线段

1. 从B1到A4的垂直距离是15。

2. A4到A3：水平距离是40。

3. A3到A2：垂直距离是20。

4. A2到A1：水平距离是40。

步骤三：建立切割路径和计算空程

· 切割路径从B1开始，首先移动到A4，然后沿A4到A3，A3到A2，A2到A1。由于A4的水平位置距离B1有100-40=60单位，这部分距离将是初始的空程。

精力有限，以下只是简略的图文版初步思路，更详细的视频版完整讲解请移步：

2024五一数学建模竞赛选题建议及ABC题详细思路！_哔哩哔哩_bilibili

代码运行求解结果：

问题2：给定下料切割布局N2见图3，构件的外边界切割成上下对称的锯齿状，同时内部切割出四个半径为3的圆形和一个椭圆形。请根据下料切割布局N2的参数信息，建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

问题二

步骤一：识别切割元素

1. 外部锯齿形状：具有多个上下对称的锯齿，整体结构类似梯形。

2. 内部圆形：四个半径为3的完整圆形。

3. 内部椭圆形：中心位置的一个椭圆形。

步骤二：设计最优切割路径

1. 起始点：从布局的右下角

2. 外部锯齿的切割：从右下角开始沿着锯齿形状切割，确保每个垂直和水平线段都被切割，这样可以避免重复路径并减少空程。

3. 内部圆形的切割：在完成外部锯齿的切割后，切割内部的圆形。因为圆形之间和椭圆形之间的距离相对较近，从一个圆形切割到另一个圆形的空程较短。

4. 椭圆形的切割：在切割完所有圆形后，最后切割中心的椭圆形。

步骤三：计算总空程

· 锯齿边缘的切割：直接沿着锯齿的边缘进行切割，没有额外的空程。

· 从锯齿到最近的圆形：计算从锯齿尾端到最近圆形的距离。

· 圆形之间的切割：因为圆形布局比较集中，可以设计路径以最小化这些空程。

· 圆形到椭圆形的切割：从最后一个圆形移动到椭圆形的距离。

模拟退火算法实现步骤

定义目标函数：目标是最小化路径的空程。

生成新的解：通过轻微修改当前解来探索新解。

接受准则：决定是否接受新解，即使它比当前解差也有一定概率接受，以避免局部最小值。

冷却计划：逐步减少“温度”，减少接受较差解的概率。

代码求解结果：

问题3：给定下料切割布局N3见图4。N3与N2相比，需要在椭圆中多切割出12个矩形件(它们在椭圆中的位置是对称分布的，左右相邻的两个矩形件的中心距离为6，上下相邻的两个矩形件的中心距离为5)。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度(要求椭圆内部的所有矩形件要先于椭圆切割)。