数模方法论-线性规划

一、基本概念

在实际生产过程中，人们经常面临如何有效利用现有资源来安排生产，以实现最大经济效益的问题。这类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划，而线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划中的一个关键领域。线性规划是一种用于解决优化问题的数学方法，其主要目标是最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一系列线性约束条件。

目标函数

线性规划的目标是优化一个线性目标函数。假设有 $n$ 个决策变量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ，目标函数可以表示为：

$\text{Maximize (or Minimize)} \quad z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n$

其中， $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是目标函数的系数。

约束条件

线性规划问题需要满足一组线性约束条件。这些约束条件可以是以下形式的线性不等式或等式：

$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n \leq b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n \leq b_2\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n \leq b_m$

其中， $a_{ij}$ 是约束条件中的系数， $b_i$ 是约束条件的常数项。

非负约束

通常情况下，线性规划问题要求所有的决策变量都是非负的，即：

$x_i \geq 0 \quad \text{for} \; i = 1, 2, \ldots, n$

标准形式

为了便于求解，线性规划问题通常会被转化为标准形式。标准形式要求：

目标函数为最大化形式：

$\text{Maximize} \quad z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n \\$

所有约束条件为等式形式：

$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \\$

所有决策变量非负：

$x_i > 0 \quad \text{for} \ i = 1, 2, \ldots, n$

二、求解方法

线性规划的求解方法包括：

单纯形法（Simplex Method）：这是最常用的线性规划求解方法，通过在一个多面体的顶点上移动来寻找最优解。
内点法（Interior-Point Method）：这是一种通过迭代在可行区域的内部寻找最优解的方法，适用于大规模问题。

现在的数模竞赛都是使用软件进行求解，首先需要列出线性规划的标准形式，然后再编写求解程序，例如求解以下线性规划问题：

1、将问题转化成标准形式

2、编写求解代码

Python代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog# 定义目标函数系数
f = [-2, -3, 5]# 定义约束矩阵和约束向量
A = [[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]
b = [-10, 12]# 定义等式约束矩阵和等式约束向量
A_eq = [[1, 1, 1]]
b_eq = [7]# 调用 linprog 进行线性规划
result = linprog(c=f, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=[(0, None)]*3)# 提取结果
x = result.x
y = -result.funprint("x:", x)
print("y:", y)

matlab代码：

f=[-2; -3; 5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y

三、应用实例

线性规划可以应用于多个实际问题，包括：

生产调度：如何安排生产以最小化成本或最大化利润。
运输问题：如何将货物从多个供应点运输到多个需求点，以最小化运输成本。
金融投资：如何在不同的投资组合中分配资金，以最大化收益或最小化风险。

1、生产调度问题

农作物的种植策略（2024国赛c题目）：该问题可以使用线性规划来求解，思路可参考下面的文章2024 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题—农作物的种植策略（讲解+代码+成品论文助攻，均已更新完毕）_农作物的替补与互补性-CSDN博客https://blog.csdn.net/qq_41489047/article/details/141961294

2、投资的收益和风险

1、问题假设（符合假设和条件假设）

2、模型分析与建立

3、模型求解

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog# 初始化变量
a = 0# 准备绘图
plt.figure()
plt.ion()  # 开启交互模式while a < 0.05:# 定义目标函数系数c = [-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185]# 定义不等式约束矩阵和向量A = np.hstack((np.zeros((4, 1)), np.diag([0.025, 0.015, 0.055, 0.026])))b = a * np.ones(4)# 定义等式约束矩阵和向量A_eq = [1, 1.01, 1.02, 1.045, 1.065]b_eq = 1# 定义下界bounds = [(0, None)] * 5# 求解线性规划result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=[A_eq], b_eq=[b_eq], bounds=bounds)# 提取结果x = result.xQ = -result.fun# 绘图plt.plot(a, Q, '*k')# 更新变量a += 0.001# 设置标签和标题
plt.xlabel('a')
plt.ylabel('Q')
plt.show()

matlab代码：

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];b=a*ones(4,1);Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];beq=1;LB=zeros(5,1);[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);Q=-Q;plot(a,Q,'*k');a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')