任务背景

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问题来自力扣题目43：字符串相乘，大意如下：

Given two non-negative integers num1 and num2 represented as strings, return the product of num1 and num2, also represented as a string.

翻译下，需求是：实现大数相乘，字符串乘法

1. 输入为非负整数两个字符串
2. 要求输出该大数值的乘积

思路分析

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方案1

自然的想法是，模拟乘法运算，考验对实际问题的计算机转换，先手动模拟下计算过程，提炼其中算法，如果最高位相乘及低位相加无累进，则提前退出。

99*99=9801  2*2=4
10*10=100   2*2=3

以下示例，运行时间击败32%：

# sol1：暴力法遍历
class Solution:def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:# corner caseif num1 == "0" or num2 == "0":return "0"elif num1 == "1":return num2elif num2 == "1":return num1# common caselen1 = len(num1)len2 = len(num2)len_sum = len1 + len2len_max = max(len1, len2)len_min = min(len1, len2)# 从低位往高位相互进位，个、十、百、千、……n1_rev = num1[::-1]n2_rev = num2[::-1]multi_res_list = []base = 10c = 0 # carrier# 暴力法for b in range(len_sum + 1):val = 0res = 0# 获取一个阶的结果，如百、十、千for i in range(len1):if i > b or b - i >= len2: # i,j比目标进位大，已到头continuej = b - i # j>=0 && j<len2n1 = int(n1_rev[i])n2 = int(n2_rev[j])res += n1 * n2# 处理一个阶的结果res += cc = res // baseval = res - c * baseassert(val < base)if (c == 0 and val == 0 and b > len_max): # 去除冗余前导零continuemulti_res_list.append(str(val))# 将列表逆序并转化为字符串输出# multi_res_list = multi_res_list.reverse() # 未按预期运行，输出结果为Nonemulti_res_list = multi_res_list[::-1]non_zero_idx = 0for val in multi_res_list:if (val == "0"):non_zero_idx += 1else:breakmulti_res_list = multi_res_list[non_zero_idx:]multi_res_str = "".join(multi_res_list) # 列表转字符串return multi_res_str

方案2

尝试进一步改进：

• 通过限制上下界，降低内外for循环次数
  • 内循环len1选两者较小的长度
  • 如果i大于b时，直接break
  • 外循环b设计提前退出条件，当前导都是零时，无计算必要
• 不整体逆序，直接从末尾字符低位往高位移动（TBD）

# sol2：beat 42.5%
class Solution:def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:# corner caseif num1 == "0" or num2 == "0":return "0"elif num1 == "1":return num2elif num2 == "1":return num1# common caselen1 = len(num1)len2 = len(num2)len_sum = len1 + len2len_max = max(len1, len2)len_min = min(len1, len2)# 从低位往高位相互进位，个、十、百、千、……n1_rev = num1[::-1]n2_rev = num2[::-1]multi_res_list = []base = 10c = 0 # carrier# 暴力法for b in range(len_sum): # b [0, len_sum-1]val = 0res = 0# 获取一个阶的结果，如百、十、千for i in range(len1):if i > b:breakif b - i >= len2: # i,j比目标进位大，已到头continuej = b - i # j>=0 && j<len2n1 = int(n1_rev[i])n2 = int(n2_rev[j])res += n1 * n2# 处理一个阶的结果res += cc = res // baseval = res - c * baseassert(val < base)if (c == 0 and val == 0 and b > len_max): # 去除冗余前导零continuemulti_res_list.append(str(val))if (b + 1 == len_sum and c == 0):break # 最高位相乘无进位# 将列表逆序并转化为字符串输出# multi_res_list = multi_res_list.reverse() # 未按预期运行，输出结果为Nonemulti_res_list = multi_res_list[::-1]non_zero_idx = 0for val in multi_res_list:if (val == "0"):non_zero_idx += 1else:breakmulti_res_list = multi_res_list[non_zero_idx:]multi_res_str = "".join(multi_res_list) # 列表转字符串return multi_res_str

方案3

网上参考的一种实现，运行时间对比：

# # sol3：beat 29.9%
# # 参考解法：https://blog.csdn.net/huqinweI987/article/details/88797663
class Solution:def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:if num1 == '0' or num2 == '0':#有0就不用乘了。return '0'res = ''carry = 0#初始化# 两个数的长度，分别都减1m = len(num1) - 1n = len(num2) - 1# m和n都是len减1，是因为，15*15中，不算被动进位，能用来主动计算乘法的，最高位就是百位，10*10=100，是主动计算的最高位。# k就在[0,m+n]的区间：代表主动计算乘法的位（最后多出来的进位单独给出）。k=0，i和j都是0,5*5，对应个位结果。# k=1，i和j分别是0、1和1、0组合，是10和5或者5和10，对应十位的结果，# k=2，i和j分别是1、1（其他组合不满足筛选条件，我计算的就是百位，不能把5也拿来用吧，把乘法写一下就出来了），代表10和10相乘，对应百位结果。for k in range(m + n + 1):print('k:',k)# i是所有输出位，包括k=m+n，不包括m+n+1，其实就是遍历所有可能的num1和num2的单独一位，做一个总的累加# i、j他俩是严格针对k的互补关系。i = 时，j = 1；i = 1时，j = 0，他们都对应结果的“下标”k=1，也就是“十位”sum = carry#先把进位计算进来（这个顺序其实无所谓，但是如果不是先进位，就要给sum清零了）for i in range(k + 1):#k其实就是结果位。i和j是根据k做的互补，严格对应一个结果底位。j = k - iif i <= m and j <= n:index_i = m - i# 转换，字符串形式，i=0其实代表的是最大的那个数，不是最小的，index_i才是最小的数。index_j = n - jsum += int(num1[index_i]) * int(num2[index_j])## 拼接结果字符串，遍历完当前k对应的所有i和j的组合，当前位的结果已经出炉，可以拼接了。比如15*15的最后一位5*5，是由当前位停留结果5和进位2组成的，当前结果就留在这。res = str(sum % 10) + res#从低位向高位迭代，使用新的sum模，后加res的拼接方式。carry = sum // 10#进位，5*5=25，进位2if carry:#最后一位了，k迭代的是乘法计算，当然可能发生进位，比如33*44中，k是0到2，最高位3*4肯定要进位的res = str(carry) + resreturn res

方案4

参考烧脑版的第二个直观优雅的思路，进行python实现：先乘，再进位，代码如下：

# sol4：beat 34%
# 参考烧脑版的第二个思路进行python实现：先乘，再进位
class Solution:def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:# corner caseif num1 == "0" or num2 == "0":return "0"elif num1 == "1":return num2elif num2 == "1":return num1# common caselen1 = len(num1)len2 = len(num2)len_sum = len1 + len2# 从低位往高位相互进位，个、十、百、千、……n1_rev = num1[::-1]n2_rev = num2[::-1]multi_res_list = []# 整体乘完放1个数组num_rev_list = [0]*(len_sum)for i in range(len1):for j in range(len2):n1 = int(n1_rev[i])n2 = int(n2_rev[j])num_rev_list[i + j] += n1 * n2base = 10# 统一处理进制问题for i in range(len(num_rev_list) - 1):num_rev_list[i+1] += num_rev_list[i] // basenum_rev_list[i] = num_rev_list[i] % base# 处理最高位的corner case# if (num_rev_list[len_sum - 1] == 0):multi_res_list = num_rev_list[::-1]non_zero_idx = 0for val in multi_res_list:if (val == 0):non_zero_idx += 1else:breakmulti_res_list = multi_res_list[non_zero_idx:]multi_res_str = "".join((str(i) for i in multi_res_list)) # 列表中的每个数字转字符串return multi_res_str

无测试套主调

无测试套版本主调：

# 无测试套版本主调
if __name__ == '__main__':print('start!')# num1 = "2"# num2 = "3"# ret = "6"# num1 = "99"# num2 = "99"# ret = "9801"num1 = "10"num2 = "10"ret = "100"# num1 = "1"# num2 = "123456789"# ret = "123456789"# num1 = "123456789"# num2 = "0"# ret = "0"# num1 = "123"# num2 = "456"# ret = "56088"# num1 = "37689269854"# num2 = "12548698156"# ret = "472951271117876189224"# num1 = "6"# num2 = "501"# ret = "3006"problem = Solution()res = problem.multiply(num1, num2)assert(res == ret)print(res, "right!")print('done!')

测试套主调

编写含单元测试的主调：

# 导入单元测试
import unittest# function...# 编写测试套
class TestSol(unittest.TestCase):def test_bound1(self):num1 = "2"num2 = "3"ret = "6"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_bound2(self):num1 = "37689269854"num2 = "12548698156"ret = "472951271117876189224"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_bound3(self):num1 = "1"num2 = "123456789"ret = "123456789"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_bound4(self):num1 = "123456789"num2 = "0"ret = "0"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_special1(self):num1 = "6"num2 = "501"ret = "3006"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_special2(self):num1 = "10"num2 = "10"ret = "100"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_special3(self):num1 = "99"num2 = "99"ret = "9801"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)def test_common_case(self):num1 = "123"num2 = "456"ret = "56088"sol = Solution()self.assertEqual(sol.multiply(num1, num2), ret)# 含测试套版本主调
if __name__ == '__main__':print('start!')unittest.main() # 启动单元测试print('done!')

本文小结

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为便于深入理解进制转换和乘法原理，同时提高编程能力，demo程序中新增单元测试代码实现。

卡壳点：

1. 陷入复杂算法细节，而不是以终为始。在没明确思路前，先实现再优化，用笨办法/暴力法解决了，再尝试改进。
2. corner case处理不当。 结尾中，输出字符串前导0场景。 中间乘积结果为0，进位符为0场景未考虑周全。

总的来说，推荐solution4方法进行解题。

此外，进阶想一想，如果将其变成大数加法，这个程序能否只改两三行代码，即可输出正确结果？再如，改成八进制乘法，如何搞？

题解参考

• 暴力法分解为单数相乘：LeetCode:43 multiply 大数乘法的数学直观理解
• 暴力法分解为字符串相加：字符串相乘（大数相乘、相加）
• 进阶烧脑版高效算法实现：博客园版本、CSDN版本

涉及知识点

• python 纯数字list转化为字符串，link
• Python字符串中添加、插入特定字符，link
• Python 列表逆序排列的 3 种方式，link
• 廖雪峰，Python自带单元测试，unittest