数据结构-时间、空间复杂度-详解

数据结构-时间复杂度-详解

1.前言
- 1.1数据结构与算法
- 1.2如何衡量一个算法的好坏
- 1.3复杂度
2.时间复杂度
- 2.1是什么
- 2.2大O符号
- - 只保留最高阶项
  - 不带系数
  - 常数次为`O(1)`
- 2.3示例
- - 示例2.1
  - 示例2.2
  - 示例2.3
  - 示例2.4
- 2.4题目
3.空间复杂度
- 3.1是什么
- 3.2大O符号
- 3.3示例
- - 示例1
  - 示例2
  - 示例3
  - 示例4
4.题目类型
- - IO型
  - 接口型

1.前言

1.1数据结构与算法

在计算机科学中，数据结构是一种数据组织、管理和存储的格式。
算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

通俗来讲，数据结构就是如何在内存中对数据进行管理。
而算法就是指如何对内存中的数据进行处理。

1.2如何衡量一个算法的好坏

当小A写了一个快速排序，小B写了一个冒泡排序，二者想要比谁的算法更好。
同样的数据，小A在其低配版的电脑上处理，小B则在高配版的电脑上处理，最后小B的冒泡排序竟比小A的快速排序还快，这能说明快速排序比冒泡排序差吗？显然不能。
为了排除环境差异对算法运行结果的影响，引入了复杂度的概念。

1.3复杂度

复杂度是衡量算法效率的重要标准，分为时间复杂度与空间复杂度，今天讲时间复杂度。

2.时间复杂度

2.1是什么

算法的时间复杂度是一个函数，描述了算法运行时间与输入数据规模之间的关系。
简单讲，时间复杂度就是一个算法运行时，大概的基本操作的执行次数

示例1.1：

int fun(int N)
{for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){//语句一}}for(int i=0;i<2*N;i++){//语句二}for(int i=0;i<10;i++){//语句三}
}

其中语句一被执行N^2次
语句二被执行2*N次
语句三被执行10次
fun()基本操作的执行次数:

N	10	100	1000
次数	130	10210	1002010

可以看到，随N增大，次数与最高阶的关系最大，因此在分析时间复杂度时，我们通常关注的是算法运行时间随着输入规模趋于无穷大时的趋势，这里我们使用大O符号

2.2大O符号

大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。

推导方法：

只保留最高阶项

如在上面的示例1.1中，f(N)=N^2 + 2*N + 10 ,只保留最高阶项，则时间复杂度为O(N^2)

不带系数

示例1.2：

int fun(int N)
{for(int i=0;i<2*N;i++){//语句二}for(int i=0;i<10;i++){//语句三}
}

时间复杂度为O(N)
当N趋近于无穷，系数的影响可以忽略不计，因此不带系数

常数次为`O(1)`

示例1.3：

int fun(int N)
{for(int i=0;i<10;i++){//语句三}
}

时间复杂度为N(1)
这里的1不是指一次，而是常数次

2.3示例

示例2.1

const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr为字符查找函数，作用是在字符串str中寻找目标字符character
查找次数：

最好	平均	最坏
1次	N/2 次	N次

当情况不唯一时，选最坏的情况，
即时间复杂度为O(N),这样可以保证任何情况都能满足预期

示例2.2

冒泡排序：

最好	最坏
N次	N*N/2 次

在冒泡排序前，我们并不知道数组有序无序，因此最好需N次
而最坏需N+(N-1)+(N-2)+...+2+1 == N*N/2次
因此，时间复杂度为O(N^2)

示例2.3

二分查找：

最好	最坏
1次	log₂N 次

时间复杂度为O(logN)

注：在时间复杂度中，由于log₂N不好打，因此常用logN代替

对二分查找，只需几组数据就能体会其优越性：

N	1000	100万	10亿
大概的执行次数	10次	20 次	30次

如果将全中国人的信息排好序放入数组，给出一个身份证号码，最多只需31次即可找到那个人的信息。
但二分查找实用性却不强，因为使用其的前提是有序数组
因此，在生活中，用得更多的是红黑树，即一种自平衡二叉查找树

示例2.4

斐波拉契数列的递归写法：
在这里插入图片描述
时间复杂度为O(2^N)

N	10次	20 次	30次
大概的执行次数	1000	100万	10亿

这与二分查找处于两个极端，即较少数据就需大量的计算，因此极不推荐使用

2.4题目

消失的数字

题目描述：数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

示例 1：

输入：[3,0,1]
输出：2

示例 2：

输入：[9,6,4,2,3,5,7,0,1]
输出：8

法一：
为了做这道题，我首先想到先排序在查找，即使用qsort，但很遗憾，qsort的时间复杂度为O(N*logN)
法二：
异或

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int ret=0;for(int i=0;i<numsSize;i++){ret^=nums[i];}for(int i=0;i<=numsSize;i++){ret^=i;}return ret;
}

时间复杂度O(N)
思路：a^a=0、a^0=a，因此，ret分别异或数组各元素，并分别异或0~N，得消失的数字
法三：
公式

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int ret=0;int i=0;for(i=0;i<numsSize;i++){ret+=(nums[i]-i);}return i-ret;
}

时间复杂度O(N)

思路：计算0~N的总和，减去数组元素总和，得消失的数字

3.空间复杂度

3.1是什么

前面我讲到了时间复杂度，它是一个算法运行时，大概的基本操作的执行次数。
与此相应，空间复杂度并非指算法运行时所占空间具体大小，如几个比特、几个字节，而指所额外创建的变量个数。

3.2大O符号

这里的大O符号，与时间复杂度中的用法完全一致，遵循一下三点：

仅保留最高阶项
不带系数
常数次为 O(1)

在这里插入图片描述

3.3示例

示例1

冒泡排序：
在冒泡排序中，更多的是在循环、比较、交换，而未创建新的数组。
为了执行循环、交换，创建了常数个变量，因此，空间复杂度为N(1)。
这也意味着无论输入数组的大小如何，所需的额外空间都是固定的。

示例2

打印斐波拉契数列前N项：
为了打印前N项，必须能够储存这些信息，可创建元素个数为N的数组。
数组的大小直接与输入 N 相关，空间复杂度为O(N)。

示例3

递归求阶乘：
求阶乘的递归方法中，通过函数调用函数、N不断变小，最终返回N！。
在此过程中，在函数中只进行了判断、调用、返回等操作，未创建额外的变量。
但，函数在调用时会创建其函数栈帧，每个函数栈帧占常数个空间。
因此，空间复杂度为O(N)。

示例4

斐波拉契数列递归求第N项
当使用了递归，就意味着会创建新的函数栈帧。
此处，递归写法中，每个函数栈帧未创建额外的变量，占常数个空间。
因此，空间复杂度取决于最多的、同时创建的函数栈帧数量。
需明确，在遇到return Fib(n-1)+Fib(n-2)，首先执行的是Fib(n-1)。
对N=5的情况，可得下图：
在这里插入图片描述
可见，最多的、同时创建的函数栈帧数量为N-1。
空间复杂度为O(N)。