堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

堆总是满足下列性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。

堆是非线性数据结构，相当于一维数组，有两个直接后继。

堆的定义如下：

n 个元素的序列 {k1​,k2​,⋯,ki​,⋯,kn​}，当且仅当满足下关系的其中之一时，称之为堆：

1. 对任意i=1,2,3,4,⋯,n/2，满足 ki​≤k2×i​,ki​≤k2×i+1​。
2. 对任意 i=1,2,3,4,⋯,n/2，满足 ki​≥k2×i​,ki​≥k2×i+1​。

满足第一种条件时，我们称堆为小根堆；满足第二种条件时，我们称堆为大根堆。

左侧为小根堆，右侧为大根堆。

若将和此次序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。

由此，若序列 k1​,k2​,⋯,kn​ 是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

下面我们来讲一下堆的插入、弹出操作（了解）。

向堆中插入一个新的元素时，其实就是在数组最末尾插入新的结点，然后开始自下而上的调整结点关系。时间复杂度：O(logn)。

void push(int A[], int i, int &n) {n++; // 调整大小A[n] = i; // 放进堆的最后int p = n;while (p > 1 && A[p / 2] > A[p]) {// 调整，如果不满足堆的性质，交换父节点和当前节点。swap(A[p / 2], A[p]);p /= 2;}
}

删除堆顶元素，把堆存储的最后结点填在根节点处，再自上而下的调整结点关系。

时间复杂度：O(logn)

void pop(int A[], int &n) {int res = A[1]; // 记录堆顶元素A[1] = A[n]; // 把最后一个元素替换到堆顶n--; // 调整大小，此时原来的最后一位虽然有值，但是不会在用了int p = 1, t;while (p * 2 <= n) { // 调整if (p * 2 + 1 > n || A[p * 2] <= A[p * 2 + 1]) { // 找到左右两个孩子中较小者t = p * 2;} else {t = p * 2 +1;}if (A[p] > A[t]) { // 如果不满足堆的性质就交换swap(A[p], A[t]);p = t;} else { //否则就调整完成了break;}}
}