《算法笔记》总结No.11——数字处理(上)欧拉筛选

机试中存在部分涉及到较复杂数字的问题,这是编码的基本功,各位一定要得心应手。 

目录

一.最大公约数和最小公倍数

1.最大公约数

2.最小公倍数

二.素数

1.判断指定数

2.输出所有素数

3.精进不休——埃拉托斯特尼筛法

4.达到更优!——欧拉筛法


 

一.最大公约数和最小公倍数

初学就开始的老生常谈,比较基础,大一期末考试和普通学校考研的难度,一定不要掉以轻心。

1.最大公约数

这里我们用欧几里得算法来实现——其实也就是初中学过的辗转相除法,没什么难度~

int gcb(int x,int y)
{if(x<y)  //保证前者更大一些 {int temp=x;x=y;y=temp;}while(y!=0){int temp=y;y=x%y;x=temp;} return x;
}

2.最小公倍数

设最大公约数是z,则x和y的最小公倍数就是x*y/z,这个公式也是小学知识,不要忘了;要是考试的时候真不小心忘了,就用暴力枚举吧,从x和y大的一个开始直到第一个可以同时整除x和y的元素即为最小公倍数~        

int main() {int x=0,y=0; cout<<"请输入两个数:";cin>>x>>y;cout<<"最大公约数是:"<<gcb(x,y)<<endl;cout<<"最小公倍数是:"<<(x*y)/gcb(x,y)<<endl;}

没什么问题:

二.素数

1.判断指定数

        常规的暴力枚举复杂度度为O(N),其实有更为简洁的办法——即对目标数开根号,比如对于16来说,2就是其的一个约数,但是16/2也是其一个约数,显然我们并不需要枚举到8——因为对于一个数来说,既然能整除,那么约数肯定是成对出现的,因此其中一个肯定比16开根号小,另一个则肯定大所以我们只需要枚举到4(也就是开根号),就能判断目标数字是否为素数~

bool IsPrime(int x)
{int temp=sqrt(x);for(int i=2;i<=temp;i++)if(x%i==0)return false;return true;
}

非常简单,不再赘述~ 

2.输出所有素数

上面函数已经有了,我们只需要枚举范围内的元素并调用函数,即可输出全部的素数:

int main() {int  x=0;cout<<"请输入查询的最大值:"; cin>>x;int count=0;for(int i=1;i<=x;i++){if(IsPrime(i)){cout<<i<<" ";count++;}if(count==5){cout<<endl;count=0;}}
}

没什么bug,count是为了输出更美观附加的: 

3.精进不休——埃拉托斯特尼筛法

        不妨这样思考一下:假设2是素数的话,那么他的倍数——4/6/8/10等等,一切可以整除2的数——是不是都不是素数!因此当我们找到一个素数时,如果将他的全部倍数都标记为合数,岂不是大大增加了效率。事实上,这就是埃拉托斯特尼筛法,其复杂度为LogN的平方,复杂度还要小于前面的N*根号N!代码如下:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>using namespace std;void Eratos(int x)
{vector<int> Num,answer;Num.push_back(-1);//统一vector中的数字与下标 for(int i=1;i<=x;i++)Num.push_back(0); //初始化数组,如果下标i是0,则代表i是素数for(int i=2;i<x;i++){if(Num[i]==0){answer.push_back(i);for(int j=i+i;j<x;j+=i)//如果i是素数,则i所有的倍数都不是素数! Num[j]=1;	}	} for(int k=0;k<=answer.size()-1;k++)cout<<answer[k]<<" "; 
}int main() {int  x=0;cout<<"请输入查询的最大值:"; cin>>x;Eratos(x);
}

没什么问题:

 

诸位不妨仔细品味一下这个筛选的方法及其实现——是不是又有散列,又有二分的思想?何其妙哉~ 

4.达到更优!——欧拉筛法

        实际上,埃拉托斯特尼筛法还是有其优化的余地:比如6、10两个数字:按照其规则,这两个数在2的时候已经判断不是素数了,但是当枚举到3和5的时候,实际上还要再判断一次!

        因此不妨保证——每个合数只是被自己最小的质因数找到,这样就避免了重复的筛选步骤。为了防止大家晕,这里修改一下埃式筛的代码:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>using namespace std;void Eratos(int x)
{int times=0;int count=0;//记录当前素数的个数vector<int> answer;//存放所有的素数vector<int> Num;//标记Num.push_back(0);//统一下标和数字大小 for(int i=1;i<=x;i++)Num.push_back(0);for(int i=2;i<=x;++i){if(!Num[i]){answer.push_back(i);count++;}for(int j=0;j<count;++j){if(i*answer[j]>x)break;int temp=i*answer[j];Num[temp]=1;times++;
//			if (i % answer[j] == 0)
//                break;}} for(int k=0;k<=answer.size()-1;k++)cout<<answer[k]<<" ";cout<<endl;cout<<"共标记了:"<<times<<"次!";
} int main() {int  x=0;cout<<"请输入查询的最大值:"; cin>>x;Eratos(x);
}

我们来测试一下100,可以发现标记合数的步骤一共执行了104次:

 

我们仔细回溯一下如上代码的运行流程:

  • 当i=2时,是素数,因此放到answer数组中;接下来遍历answer数组,2*2=4,因此4肯定不是素数,标记为合数
  • 接下来i=3,是素数,因此放到answer数组中;接下来遍历answer,3*2=6,3*3=9,因此6和9均被标记为合数
  • 接下来i=4,不是素数,直接遍历answer,2*4=8,3*4=12,8应该被标记为合数,但是对于12,其最小约数是2,因此应该由6*2来标记,所以此刻应该直接跳过

因此就有了有欧拉的写法:

void Eratos(int x)
{int times=0;int count=0;//记录当前素数的个数vector<int> answer;//存放所有的素数vector<int> Num;//标记Num.push_back(0);//统一下标和数字大小 for(int i=1;i<=x;i++)Num.push_back(0);for(int i=2;i<=x;++i){if(!Num[i]){answer.push_back(i);count++;}for(int j=0;j<count;++j){if(i*answer[j]>x)break;int temp=i*answer[j];Num[temp]=1;times++;if (i % answer[j] == 0)break;}} for(int k=0;k<=answer.size()-1;k++)cout<<answer[k]<<" ";cout<<endl;cout<<"共标记了:"<<times<<"次!";
}

核心在于这个:大家自行品味妙处——对于上面来说,因为4已经遇到了最小质因数2,因此应该直接跳出循环!

 运行100以内的素数,只执行了74次!

我们再来拿1000测试一下:

 

 

埃氏筛用了1400多次,而欧式筛只用了800多次,高低立判!


        今天就先总结到这,希望如上的素数搜索,对各位思考算法的意义有所启发——当人力无法计算庞大的运算量时,计算机应运而生;而计算机由于计算方式的不同,效率也不尽相同。我们追求高效简洁的算法,因为越低的耗时标志着越高的生产力——而相信各位都学过马克思主义基本原理:社会变革的根本原因是生产力的发展~博主有幸拜读过《人月神话》,相信大家都清楚【银弹】对于软件工程的意义。或许对于银弹的不懈追求,正是人类能够进化的原因~

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/bicheng/49851.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

测试开发面试题---JVM

JAVA的内存区域 程序计数器&#xff1a;线程私有的&#xff0c;保存当前线程的字节码文件。JAVA虚拟机栈&#xff1a;包含局部变量信息&#xff0c;用于方法的调用和执行。本地方法栈&#xff1a;与JAVA虚拟机栈类似&#xff0c;但只服务于本地方法。堆&#xff1a;所有线程共…

VMWare 16 安装

1、下载地址 VMware-workstation-full-16.2.4-20089737 2、激活码 VM16&#xff1a;ZF3R0-FHED2-M80TY-8QYGC-NPKYF 3、安装步骤 修改一下【安装位置】&#xff0c;将【增强型键盘驱动程序(需要重新引导以使用此功能()此功能要求主机驱动器上具有 10MB 空间。】【将 wMware…

使用ChatGPT来撰写和润色学术论文的教程(含最新升级开通ChatGpt4教程)​​

现在有了ChatGPT4o更加方便了, 但次数太少了 想要增加次数可以考虑升级开桶ChatGpt4​​ &#xff08; OPENAI4 可以减2刀&#xff09; 一、引言 在学术研究中&#xff0c;撰写高质量的论文是一项重要的技能。本教程将介绍如何利用ChatGPT来辅助完成从论文构思到润色的全过程…

Hadoop 重要监控指标

某安卓逆向课程打包下载&#xff08;92节课&#xff09; ​​https://pan.quark.cn/s/53cec8b8055a ​​ 某PC逆向课程&#xff08;100节课打包下载&#xff09; ​​https://pan.quark.cn/s/e38f2b24f36c​​ Hadoop 是一个开源的分布式存储和计算框架&#xff0c;广泛应用…

JUC-synchorized与锁原理、锁的升级与膨胀

syn-ed 是一个可重入、不公平的重量级锁&#xff1b;synchronized使用对象锁保证了临界区代码的原子性&#xff0c;无论使用synchorized锁的是代码块还是方法&#xff0c;其本质都是锁住一个对象。 同步代码块&#xff0c;锁住的是括号里的对象同步方法 普通方法&#xff0c;…

Adobe“加速”创意人士开启设计新篇章

近日&#xff0c;Adobe公司宣布了其行业领先的专业设计应用程序——Adobe Illustrator和Adobe Photoshop的突破性创新。这一重大更新不仅为创意专业人士带来了前所未有的设计可能性和工作效率提升&#xff0c;还让不论是插画师、设计师还是摄影师&#xff0c;都能从中受益并创作…

GO内存分配详解

文章目录 GO内存分配详解一. 物理内存(Physical Memory)和虚拟内存(Virtual Memory)二. 内存分配器三. TCMalloc线程内存(thread memory)页堆(page heap)四. Go内存分配器mspanmcachemcentralmheap五. 对象分配流程六. Go虚拟内存ArenaGO内存分配详解 这篇文章中我将抽丝剥茧,…

Redisson中RQueue的使用场景附一个异步的例子

RQueue 是一个基于 Redis 的分布式作业队列系统&#xff0c;它允许开发者在 Ruby 应用程序中实现异步任务处理和计划任务调度。由于 Redis 提供了高性能的内存数据结构存储&#xff0c;RQueue 可以快速地存储和检索队列中的任务&#xff0c;这使得它非常适合于高并发和低延迟的…

【Langchain大语言模型开发教程】评估

&#x1f517; LangChain for LLM Application Development - DeepLearning.AI 学习目标 1、Example generation 2、Manual evaluation and debug 3、LLM-assisted evaluation 4、LangChain evaluation platform 1、引包、加载环境变量&#xff1b; import osfrom dotenv imp…

UVM-config_db机制和用法

1.用途 config_db机制用于在UVM验证平台间传递参数&#xff0c;通常成对出现&#xff0c;其中set相当于寄信&#xff0c;get相当于收信。UVM提供的config_db机制可在组件实例化前就设定好配置信息&#xff0c;这样就可在tb的initial块中就进行设定了。真正将这些配置信息落实在…

RK3568 Linux 平台开发系列讲解(内核入门篇):如何高效地阅读 Linux 内核设备驱动

在嵌入式 Linux 开发中,设备驱动是实现操作系统与硬件之间交互的关键。对于 RK3568 这样的平台,理解和阅读 Linux 内核中的设备驱动程序至关重要。 1. 理解内核架构 在阅读设备驱动之前,首先要了解 Linux 内核的基本架构。内核主要由以下几个部分组成: 内核核心:处理系…

【word转pdf】【最新版本jar】Java使用aspose-words实现word文档转pdf

【aspose-words-22.12-jdk17.jar】word文档转pdf 前置工作1、下载依赖2、安装依赖到本地仓库 项目1、配置pom.xml2、配置许可码文件&#xff08;不配置会有水印&#xff09;3、工具类4、效果 踩坑1、pdf乱码2、word中带有图片转换 前置工作 1、下载依赖 通过百度网盘分享的文…

Golang实现免费天气预报获取(OpenWeatherMap)

最近接到公司的一个小需求&#xff0c;需要天气数据&#xff0c;所以就做了一个小接口&#xff0c;供前端调用 这些数据包括六个元素&#xff0c;如降水、风、大气压力、云量和温度。有了这些&#xff0c;你可以分析趋势&#xff0c;知道明天的数据来预测天气。 1.1 工具简介 …

《Java8函数式编程》学习笔记汇总

前言 见证了java8的多层排序&#xff0c;为此想系统学习下java8的用法。 目录 简介Lambda表达式流高级集合类和收集器数据并行化测试、调试和重构设计和架构的原则使用Lambda表达式编写并发程序下一步改怎么办 后记

tinyxml2的入门教程

tinyxml2的入门教程 前言一、tinyxml2 创建xml 文件二、tinyxml2 添加数据三、tinyxml2 更改数据四、tinyxml2 删除数据五、tinyxml2 打印总结 前言 xml 是一种标记型文档&#xff0c;有两种基本解析方式&#xff1a;DOM(Document Object Model&#xff0c;文档对象模型)和SAX…

尚品汇-sku存入Redis缓存(二十三)

目录&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;分布式锁改造获取sku信息 &#xff08;2&#xff09;使用Redisson 分布式锁 AOP实现缓存 &#xff08;3&#xff09;定义缓存aop注解 &#xff08;1&#xff09;分布式锁改造获取sku信息 前面学习了本地锁的弊端&#xff0c;…

NFTScan 浏览器现已支持 .mint 域名搜索功能!

近日&#xff0c;NFT 数据基础设施 NFTScan 浏览器现已支持用户输入 .mint 域名进行 Mint Blockchain 网络钱包地址的搜索查询&#xff0c; NFTScan 用户能够轻松地使用域名追踪 NFT 交易&#xff0c;为 NFT 钱包地址相关的搜索查询功能增加透明度和便利性。 NFTScan explorer…

MATLAB算法实战应用案例精讲-【数模应用】Poisson 回归分析(附R语言、python和MATLAB代码实现)

目录 前言 知识储备 常见回归方法 一、 回归分析方法概述 二、 分类 1.应用领域分类 (1)通用型 (2)统计学角度 (3)计量角度 (4)社科学角度 (5)医学角度 (6)数学建模 (7)专业型 Poisson回归和负二项回归 1.前提条件 2.分析流程图 3.案例分析 算…

通讯规约协议

通讯规约协议&#xff08;Communication Protocol&#xff09;&#xff0c;又称为通信规程&#xff0c;是随着现代通信技术和计算机网络技术的发展而发展的规约。它是通信双方对数据传送控制的一种约定&#xff0c;包括对数据格式、同步方式、传送速度、传送步骤、检纠错方式以…

Java8-求两个集合取交集

在Java8中&#xff0c;求两个集合的交集可以使用不同的三种方式&#xff1a;传统的循环遍历、使用Stream API的filter操作和使用Stream API的Collection操作。 方法一&#xff1a;传统的循环遍历 首先&#xff0c;我们创建两个集合list1和list2&#xff0c;并给它们添加一些元…