高等数学重难点突破:高阶导数的计算

写在最前

文章目录

  • 写在最前
  • 方法一:找规律
  • 方法二:牛顿莱布尼茨公式
  • 方法三:泰勒公式
  • 方法四: 数学归纳法

本文重点讨论总结面对高阶导数,我们可以使用哪些方法(工具)来解决计算高阶导数问题

方法概述:

四大方法

  • 找规律法
  • 莱布尼兹求导公式
  • 泰勒展开法
  • 数学归纳法(主要用于证明大题)

前三种方法用于小题,其中泰勒展开主要用于0点处的n阶导数,其他两种方法用于求n阶导函数
第四种方法主要用于证明大题

方法一:找规律

找规律题主要用于某些简单题
起手第一步其实是化简,就是尽量将复杂的式子,化简为简单的形式。
然后,试着求一阶导,求二阶导…,直到发现某种规律

该方法有两点需要注意的两点:
1.通过记忆常见的高阶导数,来避免找规律,当然了,记忆是有负担的,应掌握记不住现推的能力。

关于常见高阶导数的推导:

通过记忆推导结果加快做题速度

2.在包含三角函数的某些题目中,常常可能会用到诱导公式等三角函数公式,是需要积累的。

方法二:牛顿莱布尼茨公式

该公式特别适用于u和v中其中有一个是多项式函数时,原因在于,多项式有限次求导,导数就会变为0,牛顿莱布尼茨公式本来是无限项,进而变成了有限项,这是一种将无限化为有限的思想。

给出公式:
在这里插入图片描述

排列数的计算:

在这里插入图片描述

例题:

该例题正常应该是用泰勒公式计算,使用牛顿莱布尼兹公式也是为了体现它在计算该类问题的不方便性。
注意:ln(1+x)的n阶导,我们可以用方法一找规律的结论或者直接找规律,可以说这个问题是方法一和方法二的混合应用,完全可以用方法三泰勒公式解决。

在这里插入图片描述

方法三:泰勒公式

记公式很重要!!!

思想:抽象展开和具体展开,对比系数相同。
在这里插入图片描述

常用的泰勒公式:

如何记忆泰勒公式?
主要记忆三个,由这三个推一些其他的

主记三个
在这里插入图片描述

记忆口诀:
指对123,正弦135
正对需转换,指正有感叹
解释说明:
指数和对数,分母是123,sinx是135
sin和对数正负要交替,指数和sin分母是阶乘

由这三个可以推导出三个

ln(1+x)求导得到 1/1+x ,将-x替换为x得到1/1-x
sinx求导得到cosx

再记忆三个三角函数相关的:
tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + . . . arctan ⁡ x = x − 1 3 x 3 + 1 5 x 5 . . . arcsin ⁡ x = x + 1 6 x 2 . . . \tan x = x + \frac{1}{3}x^{3} + ...\\\arctan x = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5}...\\\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^{2}... tanx=x+31x3+...arctanx=x31x3+51x5...arcsinx=x+61x2...

补充:数轴法记忆三角函数泰勒展开差值
在这里插入图片描述

方法四: 数学归纳法

主要用于证明题
n=0成立
假设第n项成立,证明n+1成立

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