【题解 Kruskal重构树 LCA】 星际导航

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分析:

这也是一个比较老的题目了
今天突然想学一下kruskal重构树,就做到了这个题。

首先我们要明白,为什么这道题的路径一定是在最小生成树里?
或许是我们惯有的经验:最小的最大或者最大的最小无非两种套路:
二分答案以及最小生成树。
仔细一想发现二分答案在这道题并不可行。
于是我们将矛头转向了最小生成树。
但是为什么呢?

首先我们明白,两个点之间的路径,其实是一个生成子图,或者说生成子树。
想要最大边最小,其实感性理解一下,就等价于让两个点连通的代价最小。
我们回想最小生成树的思路,这个时候有两个点x和y
如果x和y不连通,说明我们这个时候甚至找不到x和y的一条路径,也就无法求最大边的最小值。
这个时候如果我们在加入一条边v,使得x和y能够连通
那么ok,显然这条边就是我们想找的答案。
也就是x到y路径上的最大边的最小值。
为什么是最大边?
因为这是让x和y连通加入的最后一条边,前面的加边都比他小
为什么是最大的最小?
因为如果我们不要这条边,而选择后面的边,让x和y能够连通,后面的边显然都比他大。
所以又是最小。

这里的最大与最小其实是从两个维度看,理解不同罢了。

那么明白之后其实这道题就变成了Kruskal重构树的模板题。
Kruskal就是将最小生成树的边化为点
边权变成点权
这样子就得到了一颗二叉树
而且原图上的点都是叶子结点
原图上两点的边权就是他们的LCA
因为我们建树加边的时候是按照边权从小到大加边
所以满足越上面的点的边权越大。
于是两个点之间的最大边权就变成了重构树上的LCA的点权。
那么这题就结束了


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longconst int N = 3e5+100;
int n,m;
struct E{int x,y,z;
}e[3*N];
int Fa[N][30];
int fa[N];
int cnt;
int v[N*2];
vector < int > a[N];
int d[N]; 
#define pb push_backbool cmp(E x,E y){return x.z < y.z;
}int getfa(int x){return x == fa[x]?x:fa[x] = getfa(fa[x]);
}void Dfs(int x,int faa,int de){d[x] = de;Fa[x][0] = faa;for (int i = 0; i < a[x].size(); i++){int y = a[x][i]; if (y == faa) continue;Dfs(y,x,de+1);}
}void Prefa(){for (int j = 1; j < 30; j++)for (int i = 1; i <= cnt; i++)if (Fa[i][j-1] == -1) Fa[i][j] = -1;else Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j-1]][j-1];
}int Lca(int x,int y){if (d[x] < d[y]) swap(x,y);for (int dd = d[x]-d[y],i=0; dd; dd>>=1,i++)if (dd&1) x = Fa[x][i];if (x == y) return x;for (int i = 29; i >= 0; i--)if (Fa[x][i]!=Fa[y][i]) x = Fa[x][i] , y = Fa[y][i];return Fa[x][0];
}signed main(){scanf("%lld %lld",&n,&m);for (int i = 1; i <= n; i++) v[i] = 0;cnt = n;for (int i = 1,x,y,z; i <= m; i++)scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&z),e[i] = {x,y,z};sort(e+1,e+m+1,cmp);for (int i = 1; i < N; i++) fa[i] = i;for (int i = 1; i <= m; i++){int x = e[i].x , y = e[i].y , z = e[i].z;x = getfa(x) , y = getfa(y);if (x == y) continue;++cnt; v[cnt] = z;a[cnt].pb(x); a[cnt].pb(y);a[x].pb(cnt); a[y].pb(cnt);fa[x] = cnt; fa[y] = cnt;}
//	memset(Fa,-1,sizeof Fa);for (int i = cnt; i >= 1; i--)if (!d[i]) Dfs(i,-1,1);Prefa();int q; cin>>q;while (q--){int x,y; cin>>x>>y;int X = getfa(x) , Y = getfa(y);if (X!=Y){cout<<"impossible"<<endl;continue;}int L = Lca(x,y);printf("%lld\n",v[L]);}return 0;
}

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