一、堆的概念
堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵 完全二叉树的 数组对象。 堆是非线性数据结构，相当于一维数组，有两个直接后继。
如果有一个关键码的集合K = { k₀，k₁，k₂ ，k₃ ，…，kₙ₋₁ }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：Kᵢ <= K₂ *ᵢ₊₁ 且 Kᵢ <= K₂ *ᵢ₊₂ (Kᵢ >= K₂ *ᵢ₊ ₁ 且 Kᵢ >= K₂ *ᵢ₊₂ ) i = 0，1，2…，则称为小堆 (或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
【大根堆和小根堆】：
根结点最大的堆叫做大根堆，树中所有父亲都大于或等于孩子。
根结点最小的堆叫做小根堆，树中所有父亲都小于或等于孩子。
共同特点：父亲 =（孩子-1）/2
大堆小堆有什么特点呢？
我们购物平台中，我想选择销量大的前k家，这个时候，我们不需要对所有的数据进行排序，只需要取出前k家最大的值就可以。而最值常常出现在0号位，我们就可以利用Topheap解决，大大减少了我们的时间复杂度；
特点：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
- 每层节点个数为2^(h-1)个
二、堆的创建
1、头文件的声明：
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}Heap;void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);2、代码实现：
2.1堆的初始化与堆的摧毁
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp) {assert(hp);hp->a = NULL;hp->capacity = hp->size = 0;
}//堆的摧毁
void HeapDestory(Heap* hp) {assert(hp);free(hp->a);hp->a = NULL;hp->capacity = hp->size = 0;
}2.2堆的插入
具体步骤如下：
1.将新插入的元素放置在堆的最后一个位置（通常是数组的末尾）。
2.将该元素与其父节点进行比较。
3.若该元素大于（或小于，具体根据堆是最大堆还是最小堆而定）其父节点的值，则交换该元素和其父节点的位置。
4.继续向上对比和交换，直到满足堆的性质或达到堆的根节点。
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) {assert(hp);//与顺序表的开辟类似if (hp->size == hp->capacity){int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;//使用三目操作符开辟空间大小HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}hp->a = tmp;hp->capacity = newcapacity;}hp->size++;hp->a[hp->size] = x;
//向上调整法，因为每次的插入是在数组末尾
//每次插入需要与父亲比较大小交换AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
}2.2.1向上调整法
//向上调整法，因为每次的插入是在数组末尾
//每次插入需要与父亲比较大小交换
AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
我们每次插入末尾的位置，相当于孩子，我们需要找到该孩子的父亲与之比较大小，这个时候就要利用堆的特点：父亲 =（孩子-1）/2
向上调整法：
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) {if (a[child] < a[parent]) {//根据要求设置大端小端swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}交换函数：
因为在堆的实现中我们会经常使用父子交换
void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2) {HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;//这里也可以回想前面学习//不使用第三个变量，利用换位与实现交换
}2.4堆的删除
如果我们直接删除堆顶数据，将数组数据整体向前移动，这样会导致堆的乱序；
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
2.4.1向下调整法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {//注:这里的parent为0，而数组a则是首尾交换的int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子小while (child < n) {//while循环直到超出数组长度//左孩子大if (a[child] > a[child + 1]) {child++;}if (a[child]>a[parent]) {swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}}
}这样我们只需要完成交换，传指就可以了
void HeapPop(Heap* hp) {assert(hp);assert(hp->size);swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);hp->size--;AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);
}
3、总结
升序：建大堆
降序：建小堆
（1）升序：建大堆
【思考】排升序，建小堆可以吗？-- 可以（但不推荐）。
首先对 n 个数建小堆，选出最小的数，接着对剩下的 n-1 个数建小堆，选出第二小的数，不断重复上述过程。
【时间复杂度】建 n 个数的堆时间复杂度是 O(N)，所以上述操作时间复杂度为 O(N²)，效率太低，关系变得杂乱，尤其是当数据量大的时候，效率就更低。同时堆的价值也没有被体现出来，这样不如用直接排序。
排升序，因为数字依次递增，需要找到最大的数字，得建大堆。
首先对 n 个数建大堆。将最大的数（堆顶）和最后一个数交换，把最大的数放到最后。前面 n-1 个数的堆结构没有被破坏（最后一个数不看作在堆里面的），根节点的左右子树依然是大堆，所以我们进行一次向下调整成大堆即可选出第 2 大的数，放到倒数第二个位置，然后重复上述步骤。
【时间复杂度】：建堆时间复杂度为 O(N)，向下调整时间复杂度为 O(log₂N)，这里我们最多进行N-2 次向下调整，所以堆排序时间复杂度为 O(N*log₂N)，效率相较而言是很高的。
因为在堆的实现中我们会经常使用父子交换
void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2) {HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;//这里也可以回想前面学习//不使用第三个变量，利用换位与实现交换
}我相信接下来对你来说简直轻而易举
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);4.1取堆顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp) {assert(hp);assert(hp->size);return hp->a[0];
}4.2 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp) {assert(hp);assert(hp->size);return hp->size;
}4.3堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp) {assert(hp);assert(hp->size>0);//为NULL，返回1，不为NULL，返回0；return hp->size == 0 ? 1 : 0;
}5、堆的时间复杂度
5.1建堆的时间复杂度
5.1.1向下调整法建堆
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) {assert(hp);//与顺序表的开辟类似if (hp->size == hp->capacity){int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;//使用三目操作符开辟空间大小HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}hp->a = tmp;hp->capacity = newcapacity;}hp->size++;hp->a[hp->size] = x;
//向下调整法，因为每次的插入是在数组末尾
//每次插入需要与父亲比较大小交换AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
}
因此：建堆的时间复杂度为O(N)。
等比数列求和公式：
建堆要从倒数第一个非叶子节点开始调整，也即是从倒数第二层开始调，可得出时间复杂度公式：T ( n ) = ∑ ( 每 层 节 点 数 ∗ ( 堆 的 高 度 − 当 前 层 数 ) )
建堆的时间复杂度为O(N)。（向下调整算法）
为何使用向下调整建堆而不使用向上调整建堆
5.1.2向上调整法建堆
可以看出结点数多的层, 调整次数也多, 结点数少的层, 调整次数少, 时间复杂度为O(N*logN), 所以一般建堆都采用向下调整建堆法.
6、TOPK问题
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前十、世界500强、销量最高的前十、富豪榜等等
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
我们常常会想到冒泡排序( O(N^2) )
对于少量的数据是可以拿捏的，但面对100000的数据就显得有点吃力，而堆排序O(N*logN)则觉得轻而易举
7、堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{// 降序，建小堆// 升序，建大堆// 向上调整建堆 O(N*logN)/*for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}*/// 向下调整建堆 O(N)for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}// O(N*logN)int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}哇呜！点个赞走吧！！！
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